Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось , т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось называется основание М перпендикуляра ММ , опущенного из точки на ось.

Если точка М и ось находятся в трехмерном пространстве, то точка М есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси .

Если точка М лежит на оси , то проекция точки М на ось совпадает с самой точкой М.

Пусть произвольный вектор (). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Обозначим соответствующие проекции:

Проекцией вектора на ось называется число:

, если и сонаправлены,

, если и противоположно направлены,

, если , или .

Свойства проекций:

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла, составленного вектором с осью

На рисунке положительна, т.к.0< < .

отрицательна, т.к. .

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. При умножении вектора на число, его проекция также умножается на это число.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме:

Пусть заданы два вектора: и , тогда:

1.

2.

3.

Условие коллинеарности векторов: - т.е. проекции коллинеарных векторов пропорциональны.

Док-во:Так как условие параллельности векторов можно записать в виде: , откуда , таким образом, условие коллинеарности в координатном виде: