Представление вектора в декартовой системе координат

Рассмотрим в трехмерном пространстве декартову систему координат. Через начало координат - точку О проведены координатные оси: ОХ, ОУ, OZ. На осях координат выберем единичные векторы(орты),обозначаемые соответственно: . Возьмем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат . Найдем проекции вектора на координатные оси. Для этого через конец вектора , точку М проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно Получили прямоугольный параллелепипед, одна из диагоналей которого является вектор , а ребра, выходящие из вершины О являются проекциями вектора на координатные оси. Обозначим проекции вектора на оси ОХ, ОУ, OZ соответственно через ; ; .

= , где -угол между вектором и осью ОХ.

, где - угол между вектором и осью ОУ.

, где -угол между вектором и осью OZ.

Так как = . Полученное векторное равенство часто записывается в символьном виде: .

Получается формула разложения вектора по ортам координатных осей:

Проекции вектора на соответствующие оси называются координатами вектора , соответственно: , , . Два вектора равны, если равны их координаты. Зная координаты вектора, можно вычислить его модуль.

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Нормировать вектор, значит, сделать его единичной длины, можно, разделив вектор на модуль вектора: