Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть заданы два вектора и . Составим таблицу скалярных произведений орт:

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения орт

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример 1. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора и , лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: =(6;9;-3) и =(6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов: =36-36-0=0.

Отсюда следует, что . Т.е. диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение косинуса угла между двумя ненулевыми векторами:

Отсюда следует условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора в направлении :