Звено №2

или

.

Следовательно, второе звено не устойчиво.

Вывод: фильтр не устойчив.

2.10. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (*)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

Из последнего неравенства и неравенства (*) следует

3. Преобразование Фурье

3.1.Прямое дискретное преобразование Фурье

Прямое и обратное преобразования Фурье аналогового сигнала определяются следующими соотношениями

Дискретный сигнал и последовательность дельта – функций. Длительность сигнала - T_c = T_Д N,

Воспользовавшись последовательностью -функций, представим дискретный сигнал x_n как аналоговый

Тогда

Зададимся шагом W изменения частоты w = k W, где k - целое число.

Учитывая, что T_Д = T_c / N, получим

W T_Д = 2 p F T_c / N.

Примем F T_c = 1.

Введем обозначение:

Тогда

Поэтому S_k представляет собой периодическую функцию с периодом N. Поэтому k = 0,1,2,.. N-1.

3.2. Обратное дискретное преобразование Фурье

По аналогии с формулами прямого и обратного преобразования Фурье для аналогового сигнала, и учитывая выражение для S_k, сконструируем формулу для обратного дискретного преобразования Фурье

Для определения константы a подставим в последнее соотношение выражение для S_k, предварительно заменив в нем индекс суммирования n на m

.

При m = n

При m ¹ n

В результате получим

.

Следовательно,

Таким образом,

при n = 0, 1,..N-1.

Для определения всех N отсчетов спектра или N отсчетов временной функции требуется выполнить комплексных умножений и столько же комплексных сложений.

При N больше 1000 это прямое вычисление требует больших затрат машинного времени. Поэтому возникла необходимость в разработке алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

3.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием во времени

Рассмотрим последовательность x_n, содержащую отсчетов, где M - целое число, Разобьем члены этой последовательности на две группы.

Индексы членов последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = 2m,

а индексы членов последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = 2m + 1.

Тогда выражение для прямого ДПФ можно представить в виде

Учитывая, что

,

получим