Цифровые фильтры

2.1. Свойства Z-преобразования

Прямым Z-преобразованием дискретной последовательности x_n, где n=0,1,.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением

Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.

Здесь и в дальнейшем последовательность обозначается строчной, а ее Z-преобразование той же прописной буквой.

Пример №1:

Пример №2

Пример №3

Найдите Z-преобразование сигнала

При выполнении условия

Ряд сходится в той части плоскости комплексной переменной z, для которой справедливо неравенство

Обратное Z – преобразование

Cвойства прямого Z-преобразования.

1.Линейность. Пусть последовательность y_n представляет взвешенную сумму двух последовательностей x₁_n и x₂_n

где постоянные весовые коэффициенты.

Тогда Z-преобразование последовательности y_n определяется следующим соотношением

Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.

2.Сдвиг последовательностей.

Последовательность y_n представляет собой сдвинутую (задержанную) на m отсчетов последовательность x_n

Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности y_n выражается через Z-преобразование X(z) последовательности x_n следующим образом

Таким образом, Z-преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z ^–^m.

Пример №1

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n цифровой линии задержки через Z – преобразование X(z) входного сигнала x_n

Пример №2

Выразите Z-преобразование сигнала y_n через Z-преобразование сигнала x_n, если

3.Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей x_n и h_n называется последовательность y_n,,определяемая следующим соотношением

Z-преобразование Y(z) дискретной свертки двух последовательностей y_n равно произведению Z-преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей h_n и x_n