Примеры с решениями

7.1 Объем правильной треугольной призмы равен , сторона основания равна 6. Найти , где – угол между диагоналями двух боковых граней, проведенными из одной и той же вершины (рис. 7.1).

Решение. Дано: Найти

Так как

то для нахождения ребра H получаем уравнение

Применив теорему Пифагора, из найдем диагональ боковой грани

Теперь к применим теорему косинусов и получим уравнения для нахождения .

Ответ: 4.

7.2 Основанием прямой призмы является равносторонний треугольник.

Объем призмы равен , площадь ее боковой поверхности равна 24. Вычислить , где - угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания (рис.7.2).

Решение. Дано: Найти

поэтому

Далее,

Получаем систему уравнений и решаем ее делением первого уравнения на второе. Получаем

Тогда ребро (высота) призмы

Из треугольника находим диагональ боковой грани

Ответ: 8.

7.3 Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Объем призмы равен 240. Диагональ одной из равных боковых граней наклонена к плоскости основания под углом, синус которого равен . Сумма длин этой диагонали и высоты призмы равна 24. Найти (в градусах) угол при вершине основания (рис.7.3).

Решение. Дано: Найти

Решаем систему уравнений

Тогда Из найдем

Площадь основания призмы

Объем призмы

Ответ:

7.4 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник ABC, у которого , и катет Диагональ боковой грани призмы, проходящей через гипотенузу AB, образует с боковой гранью, проходящей через катет AC, угол . Найти , если объем призмы равен (рис.7.4).

Решение. Дано:

Найти

Согласно условию (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно, Далее, поэтому и а это означает, что прямоугольный и равнобедренный, в нем

Решаем систему уравнений:

Во втором уравнении системы положим в результате чего уравнение приведется к виду

не удовлетворяет условию

Получаем, что поэтому

Из находим

Ответ: 2.

7.5 Основанием прямой призмы является равнобедренный тупоугольный треугольник. Диагональ боковой грани, противолежащей тупому углу основания, равна 6 и составляет с плоскостью основания угол 60⁰. Найти (в градусах) тупой угол основания, если объем призмы равен 6,75 (рис 7.5).

Решение. Дано: Найти тупой

Объем призмы

поэтому

Следовательно,

Далее, к треугольнику применим теорему косинусов:

Тогда

Ответ:

7.6 Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной, равной 4, и острым углом . Объем параллелепипеда равен 96. Найти (в

градусах) угол наклона меньшей диагонали параллелепипеда к плоскости основания (рис. 7.6).

Решение. Дано:

Найти

Объем призмы где Найдем

Тогда

равносторонний, поэтому

Из найдем

Ответ:

7.7 Основанием прямого параллелепипеда является квадрат. Длина бокового ребра равна 7. Найти (в градусах) угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью, если диагональ параллелепипеда равна (рис. 7.7).

Решение. Дано:

Найти

Из найдем

Из прямоугольного находим, что

Рассмотрим

Ответ:

7.8 Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Высота параллелепипеда равна 4. Сумма диагонали параллелепипеда и стороны основания равна . Найти (в градусах) угол между диагональю параллелепипеда и его боковой гранью (рис. 7.8).

Решение. Дано:

Найти

Диагональ квадрата

Из найдем Решаем систему

Решая квадратное уравнение, находим

Тогда

Из прямоугольного находим

Ответ:

7.9 Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Объем параллелепипеда равен 1,5 и его высота равна . Найти (в градусах) угол наклона к плоскости основания большей диагонали параллелепипеда, если его меньшая диагональ наклонена к плоскости основания под углом (рис. 7.9).