Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функция

определена в некоторой области D М Rⁿ и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k (k < n) соотношениями:

Условия (2) называются уравнениями связи. Пусть координаты точки M ₀(x ₁⁰,,x _n ⁰) О D удовлетворяют уравнениям связи (2). Точка M ₀(x ₁⁰, …,x _n ⁰) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность O_δ (M ₀) точки M ₀, что для любой точки M (x ₁, …,x _n) О O_δ (M ₀), координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство f (M) ≤ f (M ₀) (f (M) ≥ f (M ₀)).

Методы нахождения условного экстремумаМетод исключения переменных

Ограничимся для простоты случаем n = 2, k = 1, т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области D М R ² и ее аргументы связаны условием

Допустим, что уравнение (3) определяет неявно функцию y (x). Тогда можно рассматривать сложную функцию f (x, y (x)) = u (x). Если эта функция имеет экстремум в точке x ₀ и y (x ₀) = y ₀, то точка (x ₀, y ₀) является точкой условного экстремума функции f (x, y), аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (3).

Если уравнение связи (3) можно разрешить относительно y и перейти от неявного задания функции y (x) к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции y (x).