Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f (x ₁, x ₂, …, x_n) и F_i (x ₁, x ₂, …, x_n) (i = 1,2, …,k) дифференцируемы в некоторой области D М Rⁿ. Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f (x ₁, x ₂, …, x_n) при условиях связи

Fi (x 1, x 2, …, xn) = 0 (i = 1,2, …,k).

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L (x 1, x 2,:::,x n; λ1,λ2,:::,λ k) = f (x 1, x 2,:::,x n) + λ1 · F 1(x 1, x 2,:::,x n) +

+ λ2 · F 2(x 1, x 2,:::,x n) + … + λ k · Fk (x 1, x 2,:::,x m).

(4)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (4).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю. Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

Если (x₁⁰,:::,x_n⁰; λ₁⁰,:::,λ_k⁰) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x₁⁰,:::,x_n⁰) функции f(x₁,x₂,:::,x_n) при условиях связи (2), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M₀, нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов dx ₁, …,dx_n, не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Геометрический смысл условного экстремума функции: Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0.

9. Определение двойного интеграла. Его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Определение:

Двойным интегралом от функции по ограниченной замкнутой области называется предел интегральной суммы, построенной для функции при неограниченном увеличении числа разбиений области на ячейки ( ) и при стягивание каждой ячейки в точку ( ), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области на ячейки, ни от выбора в каждой из них.

Теорема существования:

Для всякой непрерывной функции в ограниченной замкнутой области существует двойной интеграл:

Свойства двойного интеграла:

3) Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то:

4) Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции и удовлетворяют неравенству, то и

6) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то , где – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

7) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области

Пример вычисления:

Вычислить в области , ограниченной кривыми и .