2015-02-04
2127
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Если D* – область в полярной системе, соответствующая области D в прямоугольной системе, то
Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции 
взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область 
плоскости 
на открытое множество, содержащее область 
, и пусть является образом . Если 
и их частные производные непрерывны, а определитель 
, то 
. Выражение 
называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель 
- якобианом.
12. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.
Замена переменных в тройном интеграле 
состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам
Если выполняются условия
1?. Отображение (6) взаимно однозначно;
2?. Функции в (6) непрерывно - дифференцируемы в области 
3?. Якобиан отображения
то имеет место формула 
Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T
Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел 
- полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8) 
Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел 
, где r - расстояние точки M до точки 0, 
- угол между лучами OM и OZ, 
- полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.
Они связаны с прямоугольными формулами
Якобиан отображения 
. Иногда используются обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах
Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью 
Тогда
- масса тела.
13. Криволинейный интеграл 1 рода.
Криволинейным интегралом первого типа от функции f(х, у) по кривой L называется предел интегральной суммы (1.1) при 
и max 
: 
(4.2)
Криволинейный интеграл 1-го рода (Кри-1) 
Сведение Кри-1 к определенному интегралу
Если кривая l задана уравнением 
то
Если кривая l задана параметрически 
то
Свойства.
1) по самому определению криволинейный интеграл первого типа не зависит от направления пути интегрирования:
;
2) 
;
3) 
(c=const);
4) если путь интегрирования L разбит на части L1, L2,..., Ln, то
.
Криволинейный интеграл 2 рода.
Криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам 
Называется предел интегральной суммы (21.8) при 
Криволинейный интеграл 2-го рода (Кри-2) 
Изменение направления обхода по кривой
Сведение Кри-2 к определенному интегралу
1. Кривая l задана уравнением y = f(x), x изменяется от 
до 
:
2. Кривая l задана параметрически: x = x(t), y = y(t), t изменяется от до :
Сведение Кри-2 к Кри-1
где 
- угол между направлением касательной к кривой l, согласованным с направлением обхода на кривой, и положительным направлением оси Ох.
Свойства.
1. 
2. 
3. 
4. 
Длина дуги кривой.
Длина дуги кривой в параметрической форме
Длина дуги в полярных координатах
14. Площадью поверхности называют предел
.
