Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1.

2.

3. , где k - константа;

4. Если в любой точке области U, то ;

5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U ₁ и U ₂, то ;

6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U

7. Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M ₀ U, такая, что

где V - объем области U.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси O z, т.е. любая прямая, параллельная оси O z, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z ₁(x,y), а сверху - поверхностью z = z ₂(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость O xy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z ₁(x,y)и z ₂(x,y) непрерывны в области D.

Рис.1		Рис.2

Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область D (x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями

где f ₁(x), f ₂(x) - непрерывные функции в интервале [ a,b ] и f ₁(x) ≤ f ₂(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем

В другом случае, когда область D (x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси O x) и ограничена линиями

где φ ₁(y), φ ₂(y) - непрерывные на отрезке [ c,d ] функции, причем φ ₁(y) ≤ φ ₂(y), тройной интеграл представляется в виде

Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле

Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.