Проверка равенства нескольких дисперсий

Часто возникает необходимость проверки однородности сразу нескольких выборок, в частности, равенства дисперсий этих выборок, подтверждающего, что они принадлежат одной генеральной совокупности. Для такого случая статистики разработали достаточно много критериев. Перечислим их по именам авторов: Бартлетта, Кохрана (приведены на схеме, см. рис. 7.3), Неймана-Пирсона (критерий отношения правдоподобия), Блисса-Кохрана-Тьюки, Хартли, Кэдуэлла-Лесли-Брауна, Самиуддина.

Наиболее известными из критериев являются первые два. Причём критерий Кохрана применим для случая, когда объёмы сравниваемых выборок одинаковы и очень прост в применении. Берётся результат отношения максимальной дисперсии к сумме дисперсий (G = S²_MAX/∑S²_i.) и сравнивается с табличным (критическим) значением G_табл. Распределение критерия Кохрана G_табл в сокращённом и округлённом виде представлено в приложении, где N - количество рассматриваемых выборок, а n - объём каждой выборки (часто вместо n в таблице критерия вводят число степеней свободы f = n-1). Если установлено, что G>G_КР (последнее зависит от объёма каждой выборки и уровня значимости, см. табл. приложения), то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается. В противном случае гипотеза о равенстве всех дисперсий принимается.

В отношении объёма выборок критерий Бартлетта более универсален - он применим для случая, когда объёмы сравниваемых выборок различны, но имеет существенный недостаток - очень чувствителен к отклонениям от нормальности. Кроме того, следует знать, что установлено лишь приближённое распределение критерия Бартлетта (имеются и другие аналогичные критерии более высокой мощности, например критерий Самиуддина), в то время как распределение критерия Кохрана G_КР установлено точно.

Поскольку в практической работе нормальность распределения проверяется далеко не всегда (см. § 5.3), а для малых выборок вообще не может быть проверена (см. § 7.6), предлагаем следующий наиболее простой подход к проверке однородности дисперсий в технологической практике:

- если сравниваемые выборки имеют одинаковые объёмы, целесообразно воспользоваться простым критерием Кохрана;

- если объёмы сравниваемых выборок различны, целесообразно из всех выборок выделить две, имеющие максимальную и минимальную дисперсии сравнить их по критерию Фишера-Снедекора (см. § 7.3.1). Если различие между ними окажется незначимо. тем более незначимо различие между остальными дисперсиями.