2015-03-22
623
При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции 
, заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции 
непосредственное дифференцирование затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию на интересующем отрезке 
интерполирующей функцией 
(чаще всего полиномом), а затем полагают:
при 
(1)
Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции .
Если для интерполирующей функции известна погрешность 
, то погрешность производной 
выражается формулой
, (2)
т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.
Приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых и 
на отрезке еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных 
и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рис. 1).
|
|
|
Формулы приближенного дифференцирования,
основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
Пусть имеем функцию, заданную в равноотстоящиъ точках отрезка с помощью значения. Для нахождения на производных функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов
