Аксиоматический метод

1. Любое доказательство начинается с основания (посылки). Но основание не должно быть ложным, т.е. его тоже нужно обосновать. По сути дела, доказательство – это дедукция, т.е. переход от более общих утверждений к частным. Доказать – значит установить, что данное утверждение есть следствие более общего, т.е. выводится из него.

2. Самые общие утверждения в математике называют аксиомами (от греч. axios – ценность). Аксиомы – это не положения, истинность которых очевидна (сколько угодно теорем, истинность которых очевидна, доказывается), а просто утверждения, которые удобно из методических или методологических соображений принять за исходные.

3. Аксиоматическое построение теории осуществляется по следующей схеме:

1) перечисляются исходные понятия, которые вводятся без определений;

2) формулируются исходные предложения, выражающие основные свойства и отношения между исходными понятиями, аксиомы и определения.

3) На основе аксиом и определений формулируются остальные предложения теории - теоремы (от греч. teos – божественный). При этом можно использовать ранее доказанные теоремы.

4) Любая теорема должна обладать свойством выводимости (разрешимости), т.е. должен существовать способ получения её из данной системы аксиом.

5) Система аксиом должна быть полной, непротиворечивой, независимой.

Полнота означает, что система аксиом имеет единственную с точностью до интерпретации реализацию, т.е. не существует истинных утверждений, которые нельзя доказать, опираясь на эту систему аксиом. Непротиворечивость означает, что из данной системы аксиом нельзя сделать двух взаимоисключающих друг друга выводов. Другими словами, как бы мы не развивали теорию, базирующуюся на этой аксиоматике, мы не получим противоречий. Независимость означает, что ни одну из аксиом системы нельзя доказать, как теорему, базируясь на остальных. (Это последнее требование, вообще говоря, неважно, т.к. увеличение числа аксиом облегчает построение теории).

Давид Гильберт поставил задачу доказательства непротиворечивости всей математики, «исключив из неё всякого рода метафизику». Исследование программы Гильберта обоснования математики показало, что непротиворечивость любого её раздела можно связать с непротиворечивостью арифметики. Но в 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы.

Теорема 5. Если формально-логическая система, содержащая арифметику, включая и саму арифметику, непротиворечива, то она неполна, т.е. существуют утверждения, сформированные в её исходных понятиях, которые нельзя доказать или опровергнуть.

Теорема 6. Если формально-логическая система, содержащая арифметику, включая и саму арифметику, непротиворечива, то это нельзя доказать средствами и языком любой математической теории, содержащей арифметику.

Таким образом, математику невозможно самообосновать. Её обоснование – в природе человека и в его культуре.