В мире всё относительно
и, прежде всего, отношения.
Абу Али аль-Хавои.
Определение 1. Два элемента одного или разных множеств, расположенные в определенном порядке, называется упорядоченной парой .
Определение 2. Две упорядоченные пары и равны, если .
Замечание. Естественно, , если .
Замечание. Упорядоченная n-ка (читается энка): .
Определение 3. Декартовым (прямым) произведением множеств и (обозначается ) называется множество всех упорядоченных пар таких, что , а . Множество часто называют множеством прообразов, а множество – множеством образов.
Определение 4. Любое подмножество декартова произведения называется бинарным отношением между множеством и (обозначается ).
Среди бинарных отношений важнейшим является функция (от лат. functio – исполнение).
Определение 5. Пусть , а .Подмножество декартова произведения множеств называется функцией, если есть парный элемент точно одной пары . Обозначается .
Определение 5*. Если , то такое отношение и его результат называется функцией. Множество называется областью определения функции, а множество – областью изменения функции; называют аргументом (от лат. functio - действовать), – значением функции.
Определение 6. Функция называется инъективной, если , то есть каждому соответствует не более одного .
Определение 7. Функция называется сюръективной, если , то есть каждому соответствует, по крайней мере, один .
Определение 8. Функция называется биективной, если она и инъективна и сюръективна, т.е. . Так как в этом случае каждому соответствует единственный , то существует функция , которая называется обратной по отношению к функции ( – обозначение обратной функции).