Множества

Глава I Множества. Логика

Грядущие поколения будут
рассматривать теорию множеств
как болезнь, от которой они излечились.

А. Пуанкаре, 1908 год

Определение 1. “Множество – совокупность элементов, обладающих определенными свойствами и связанных между собой или элементами других множеств определёнными отношениями ” (Н. Бурбаки).

Замечание. Подчёркнутые слова не определяются.

Замечание. “Множество есть многое, мыслимое как единое целое” (Г. Кантор – основатель теории множеств).

Определение 2. Задать множество – указать точное правило, с помощью которого о любом элементе можно сказать: является ли он элементом данного множества. Это можно сделать перечислением (для конечных множеств) или указанием характеристического свойства , т.е. такого свойства, которым обладают все элементы задаваемого множества и не обладают никакие элементы никаких других множеств. Обычно множество выделяется из более общего множества, которое называется UNIVERSUM (вселенная) и обозначается буквой U.

Пример. Множество – множество, заданное перечислением; множество – множество элементов , заданное правилом . Например, – множество тех, и только тех действительных , которые не больше двух.

На универсуме U множества обозначаются кругами, которые называются кругами Эйлера. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, элементы – соответствующими маленькими (рис.1).

Знак означает принадлежность и применяется для элементов, – не принадлежать, – принадлежать для множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Определение 3. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается .

Пример. ; но , так как единственным элементом множества является упорядоченная пара , а множество состоит из двух элементов: 1 и 2.

Определение 4. Множество есть подмножество множества , если справедливо . Обозначается: . Говорят, что множество строго включено во множество , если справедливо, что , но .

Определение 5. , если и (т.е. они состоят из одних и тех же элементов).

Пример. , так как единственным элементом множества является множество .

Определение 6. Рассмотрим множество всех подмножеств конечного множества и обозначим его . Таким образом, содержит пустое множество и само множество . Эти подмножества называются несобственными, а остальные собственными (собственно говоря, они и есть нетривиальные подмножества).

Пример. Пусть , тогда .

Объединением множеств и ( (читается чашка ) называется новое множество , элементами которого являются элементы множества или элементы множества : (рис.2). Слово “или” употребляется в неразделительном смысле и обозначается значком , который называется “ дизъюнкция ” (от лат. disjunctio – разобщение, различие). Тогда .

Аналогично даются определения остальных операций над множествами. Мы их просто выпишем.

Определение

8. Пересечение:

(читается крышка ).

(рис.3). Слово “и” обычно заменяют значком - “конъюнкция” (от лат. conjunctio – союз, связь), и тогда множество описывается так: .

(рис. 4) - все те элементы множества , которые не являются элементами множества .

(рис.5).

Определение 11. Дополнением множества до универсума называется множество, состоящее из всех тех элементов универсума, которые не являются элементами множества (рис. 6). Обозначают .

Определение 12. Характеристической функцией множества называется функция .

Легко составить характеристические функции для всех перечисленных операций. Они называются таблицами Буля. С их помощью легко доказываются свойства операций над множествами.

U