Высказывания

Определение 1. Высказыванием называется любое верифицируемое повествовательное предложение, т.е. предложение, относительно которого можно утверждать истинно оно или ложно.

Пример «» – высказывание; «сегодня хорошая погода» – не высказывание (для кого как!).

Определение 2. Предложение, содержащее переменную и обращающееся в высказывание при подстановке конкретных значений называют высказывательной формой.

Пример.

Определение 3. Множество всех возможных истинных интерпретаций высказывания называется смысловым полем (интерпретация – это форма представления информации).

Смысловое поле задано на своём универсуме – множестве всех возможных интерпретаций. Это позволяет высказывания, как и множества, изображать кругами Эйлера. В этом случае характеристическая функция для высказываний имеет вид:

A – высказывание, а – его интерпретация.

Определение 4. Сложным называется высказывание, составленное из простых с помощью логических операций: ù – неверно, что; – конъюнкция; – дизъюнкция; – импликация; – эквивалентность; и кванторов: – существует, – для всех, - тавтология (всегда истинно).

Опишем эти операции, используя понятие смыслового поля:

или ù А – неверно, что А;

–дизъюнкция («или»), совокупность (disjunctio – различие);

–конъюнкция («и»), система (conjunctio – союз);

–импликация, теорема (implictio – тесно связывать);

– эквивалентность (или ).

Это описание позволяет составить таблицы истинности для этих операций.

A	B
и	и	л	и	и	и	и
и	л	л	и	л	л	л
л	и	и	и	л	и	л
л	л	и	л	л	и	и

Теперь можно точно дать определения.

Определение 5 Дизъюнкцией двух высказываний и называется новое сложное высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний или .

Определение 6. Конъюнкцией двух высказываний … (самостоятельно)

Определение 7. Эквиваленцией … (самостоятельно).

Определение 8. Импликацией двух высказываний и называется новое сложное высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание истинно, а высказывание ложно.

Импликация называется ещё теоремой. Тогда говорят, что достаточное условие для , – необходимое условие для . Теорема называется прямой, – обратной, – противоположная прямой, – противоположная обратной. Используя таблицы истинности, докажем три важных факта: