Задача 1 (Задача Коши)

Исходные данные: в физической плоскости XY на некоторой кривой АВ, которая не является характеристикой, задана скорость потока.

Требуется определить: скорости потока в области, ограниченной этой кривой и двумя характеристиками АС и ВС разных семейств (рис. 5.5), проведенных из точек А и В (эти характеристики строятся при решении задачи).

Решение: рассмотрим на кривой АВ ряд точек и проведем из каждой точки характеристики (линии возмущения) обоих семейств до их пересечения. – точки пересечения характеристик разных семейств (узловые точки). Ввиду малости участков разбиения характеристики можно считать прямолинейными. Уравнение отрезков этих прямых можно записать как уравнения прямых, проходящих через две точки:

и (5.20)

Координаты точек определим из выражений (5.20). Так, точка есть точка пересечения характеристики первого семейства, проведенной из точки , и характеристики второго семейства, проведенной из точки :

и . (5.21)

Скорость потока в узловых точках определим из уравнений соответствующих характеристик в плоскости годографа скорости, записанных через конечные разности. Так для точки они имеют вид

и . (5.22)

Система уравнений (5.21) позволяет определить координаты точ-ки . Решая систему уравнений (5.22). находим и в точке , а по ним и остальные параметры течения. Точно таким же образом определяются координаты всех других точек пересечения характеристик и находятся параметры течения в этих точках и т. д., пока не будут описаны подобным образом все точки рассматриваемой области течения. Крайние характеристики АС и ВС строятся в процессе решения задачи. Точность расчета зависит от количества выбранных точек на исходной кривой АВ (чем больше точек, тем выше точность).