2015-03-22
3498
Запишем уравнение движения (3.8) с учетом внутреннего трения в следующем виде:
. (7.1)
Напомним, что 
представляют собой касательные напряжения от силы трения, действующие на площадки, перпендикулярные соответствующим осям координат. Каждая из этих составляющих, в свою очередь, может быть представлена в виде суммы трех проекций на оси координат. Таким образом, мы имеем тензор напряжений (3.10), симметричный относительно главной диагонали, т. е. 
, 
, 
.
Составляющие тензора напряжений можно выразить с помощью обобщенного закона Ньютона (3.12):
,
где 
имеет вид телеграфного сигнала (или единичной матрицы), принимая значения 
при 
или 
при 
; 
и 
– координатные направления.
Тогда, например:
, 
.
С учетом выражений (3.10) для 
,…, расписав каждую из составляющих 
тензора напряжений, запишем уравнение движения (7.1) в проекциях на оси координат:
(7.2)
Уравнения (7.2) и есть уравнения Навье–Стокса. В общем случае коэффициент вязкости 
зависит от температуры. Если считать 
, то уравнения Навье–Стокса будут иметь вид
|
|
|
,
, (7.3)
где 
– оператор Лапласа.
Точное решение задачи обтекания какого-либо тела, сводящееся к интегрированию сложных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях, представляет огромные трудности. Для получения каких-либо частных решений прибегают к упрощению дифференциальных уравнений.
Так Д. Стокс, решая задачу об обтекании шара потоком вязкой жидкости и сделав допущение о малости инерционных членов, отбросил их полностью. Однако такое упрощение справедливо только при очень малых числах Рейнольдса, незначительно отличающихся от единицы. О. Рейнольдс принял модель несжимаемой жидкости, отбросив полностью инерционные члены, а из вязких членов оставил главнейшие. Этот метод применяется при решении гидродинамических задач теории смазки (при малых числах 
). Другие авторы вместе с вязкими членами оставили в уравнении только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризируются путем замены неизвестной скорости перед производной ее характерным значением. Однако и этот метод применим при небольших числах и к тому же достаточно сложен.
При изучении обтекания тел при больших числах Рейнольдса, характерных для авиационной и ракетной техники, применяют метод упрощения уравнений Навье–Стокса, основанный на понятии пограничного слоя.
