В несжимаемой жидкости

Для области тонкого пограничного слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л. Прандтль предложил особый метод упрощения уравнений движения (7.3), основанный на сравнении порядка величины членов уравнения и отбрасывания членов высшего порядка малости.

Пусть поток движется вдоль твердой прямолинейной границы в направлении оси ОХ (рис. 7.4). Вдоль этой границы образуется пограничный слой, толщина которого . Рассмотрим плоский пограничный слой в установившемся потоке несжимаемой жидкости (, скорость течения не зависит от времени, плотность постоянная). Массовыми силами для газа можно пренебречь (). С учетом принятых допущений запишем уравнения Навье–Стокса следующим образом:

, (7.4)

, (7.4а)

и уравнение неразрывности в виде

. (7.4б)

Эта система уравнений полностью описывает движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках настоящей задачи.

Оценим порядок входящих в эти уравнения членов, имея в виду, что , т. е. имеет порядок толщины пограничного слоя ( ~ ) и является малой величиной по сравнению с характерным размером обтекаемой поверхности, например, его длиной . Скорость в пределах пограничного слоя ( ~ ), продольная координата , т. е. ~ .

Тогда приращение скорости имеет порядок величины скорости во внешнем потоке . Установим порядок величины производных, входящих в уравнения (7.4):

~ ; ~ ; ~ ; ~ .

С учетом уравнения неразрывности (7.4б) ~ . Поскольку , то ~ ~ , ~ , ~ . Записав порядки величин членов уравнения (7.4), сравним их:

Сравнение показывает, что оба слагаемых левой части уравнения (инерционные члены) имеют один и тот же порядок малости . Вязкие члены (в скобках правой части) имеют разный порядок, причем первое слагаемое существенно меньше второго: отношение первого ко второму равно . Поэтому первым слагаемым можно пренебречь, и уравнение (7.4) запишется в несколько упрощенном виде:

. (7.5)

Внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковый порядок, т. е. их отношение должно быть равным единице. Тогда из уравнения (7.5), записав инерционный и вязкий члены через их порядки, получаем, что их отношение равно и отсюда откуда получается вполне очевидное соотношение: ~ .

Проведя подобный анализ членов второго уравнения (7.4а), приходим к аналогичной выражению (7.5) упрощенной записи:

Инерционные члены этого уравнения имеют порядок и относятся к инерционным членам первого уравнения как (малая величина). Точно в таком же отношении друг к другу находятся и вязкие члены. Следовательно, решая задачу с использованием обоих уравнений, мы приходим к выводу, что наибольший вклад в конечный результат дает уравнение (7.5). Очевидно, что вклад второго уравнения не превышает указанного отношения, т. е. . Поэтому инерционными и вязкими членами второго уравнения можно пренебречь и в задаче исследования течения в пограничном слое вообще не учитывать. Тогда из второго уравнения системы с достаточной точностью можно записать следующее:

То есть, давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешней границе пограничного слоя.

Это один из главных выводов, полученных в результате упрощения исходной системы уравнений.

Таким образом, распределение давления вдоль поверхности тела совпадает с распределением давления на внешней границе пограничного слоя, которое можно найти, решая задачу обтекания данного тела невязким (потенциальным) потоком.

Так как , то и = . В результате упрощений получаем систему уравнений, описывающих движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя: