Толщина вытеснения

Рассмотрим секундные расходы жидкости через сечение пограничного слоя высотой для потоков невязкого и вязкого газов. Найдем разность между ними:

Первое слагаемое уравнения представляет собой расход невязкого газа ( – плотность невязкого газа, – скорость его течения), а второе – расход вязкого газа ( – плотность вязкого газа, которая зависит от скорости течения и, следовательно, переменна по толщине пограничного слоя).

Учитывая, что за пределами пограничного слоя отношение скоростей изменяется очень мало (), интеграл в выражении для разности расходов в пределах от 0 до можно заменить на интеграл в пределах от 0 до ¥.

Если предположить, что

, то рассматриваемый интеграл можно представить через площадь под кривой профиля скорости

. Приведем ее к площади равновеликого прямоугольника

(рис. 7.2). Заштрихованные площади на рис. 7.2 равны. Тогда получаем, что уменьшение расхода в пределах пограничного слоя равно

, и для несжимаемой среды

Величина , называемая толщиной вытеснения, – условная толщина некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу времени и при постоянной во всех сечениях скорости протекает количество жидкости, равное уменьшению расхода в пограничном слое.

Толщина вытеснения характеризует уменьшение секундного расхода газа через сечение пограничного слоя вследствие торможения потока в пограничном слое.

Кроме того, толщина вытеснения характеризует искривление линий тока вследствие торможения потока в пограничном слое (рис. 7.3).

Линии тока при обтекании пластинки невязким потоком параллельны поверхности (линия тока 1, рис. 7.3). В вязком потоке линия тока отклоняется от поверхности (линия тока 2, рис. 7.3).

Рис. 7.3. Геометрический смысл толщины вытеснения

Так как перед пластинкой линии тока 1 и 2 совпадают, то через сечение АВ с равномерным распределением скорости и через сечение АС с неравномерным распределением скорости протекает одинаковое количество газа (свойство трубки тока):

Отсюда . В данном случае – смещение линии тока вязкого потока по отношению к линии тока невязкого потока. В сечении, где (а в точке линия тока 2 пересекает границу пограничного слоя), получаем

Следовательно, толщина вытеснения – это толщина, на которую отодвигаются от тела линии тока в вязком газе по отношению к линиям тока в невязком газе. Вследствие этого даже при обтекании плоской пластинки составляющая скорости , и в пределах толщины пограничного слоя имеет тот же порядок что и .

При решении задач с учетом влияния пограничного слоя на внешний поток можно использовать метод последовательных приближений, суть которого заключается в следующем: сначала считая газ невязким, рассчитывается распределение скоростей и давлений по поверхности тела; затем на основании полученных данных рассчитывается толщина пограничного слоя и толщина вытеснения; производится изменение (утолщение) контура поверхности на и проводится вторичный расчет и и т. д. до достижения требуемой точности.