Метод узловых напряжений (МУН)

Изложение метода узловых напряжений начнем с рассмотрения направленного графа схемы (рис.5.10), токи в ветвях которой необходимо определить.

Дерево графа выделено на рисунке утолщенными линиями. Предположим, что известны напряжения на ветвях цепи, соответствующих у графа ветвям дерева (ветви 4,5,6). В этом случае напряжения на остальных ветвях могут быть определены из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для независимых контуров цепи (т.е. образованных одной связью и ветвями дерева):

Это свойство напряжений ветвей дерева сохраняется при любом выборе дерева графа. Таким образом, по известным напряжениям на ветвях цепи, соответствующих в графе ветвям дерева, напряжения остальных ветвей могут быть определены исходя из второго закона Кирхгофа без решения системы уравнений.

Введем в рассмотрение так называемые узловые напряжени я , понимая под ними напряжения между -ым узлом и нулевым (опорным) узлом. В общем случае опорный узел выбирается произвольно. Для принятой на рис. 5.10 нумерации узлов получаем узловые напряжения , и . Иная нумерация узлов породит иные узловые напряжения. При этом их общее число (три в данном примере) остается неизменным и будет равно для произвольной цепи , где - число узлов цепи.

Важным обстоятельством в данной ситуации является то, что напряжение на любой из ветвей цепи может быть выражено через узловые напряжения. В рассматриваемом примере для ветвей дерева

и, следовательно, для связей

В общем случае, для ветви, находящейся между узлами и , можно записать , где и - узловые напряжения соответственно между узлами , и опорным узлом. Таким образом, расчет узловых напряжений фактически определяет напряжения на всех ветвях цепи, а значит и токи в них.

Система уравнений для определения узловых напряжений в произвольной цепи имеет вид

Для уяснения правил формирования коэффициентов системы уравнений и их правых частей рассмотрим следующий пример. Определим токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 5. 11.

Выбрав опорный узел 0 и пронумеровав остальные узлы, запишем для них уравнения по первому закону Кирхгофа

(*)

Для данной системы () имеем два узловых напряжения и . Выразим токи ветвей через узловые напряжения

и подставим полученные выражения в уравнения (*). Группируя подобные слагаемые, получаем

(**)

Система уравнений (**) примет характерный для метода узловых напряжений вид

(***)

если обозначить

Полученные выражения позволяют сформулировать правила формирования коэффициентов системы уравнений и их правых частей:

· диагональные элементы матрицы коэффициентов представляют собой сумму проводимостей ветвей, подходящих к -му узлу;

· недиагональные элементы представляют собой проводимость ветви (или суммарную проводимость ветвей), соединяющей узлы и , при этом ;

· правые части уравнений, так называемые задающие токи , рассчитываются как алгебраическая сумма источников тока, подходящих к -му узлу, причем знак (+) приписывают слагаемым, если источник направлен к узлу, а знак (-) - в противном случае.

Входящие в выражения для задающих токов слагаемые вида имеют смысл эквивалентных источников тока, соответствующих неидеальным источникам э.д.с.

Решение системы (***) может быть записано в виде

где

главный определитель системы уравнений, , , - алгебраические дополнения.

Рассчитав узловые напряжения, нетрудно определить ток в любой ветви схемы

Отметим особенности использования метода узловых напряжений при расчете схем с идеальными источниками э.д.с.

При наличии в цепи идеального источника э.д.с. е в качестве опорного узла необходимо выбрать один из узлов ветви, включающей в себя этот источник. Такой выбор означает, что узловое напряжение этой ветви равно или в зависимости от направления э.д.с. по отношению к опорному узлу. Порядок системы уравнений () МУН уменьшается на единицу, так как исключается уравнение, в правой части которого содержится задающий ток для узла ветви с идеальным источником э.д.с.

При наличии в схеме нескольких ветвей с идеальными источниками э.д.с., имеющих общий узел, в качестве опорного узла выбирается именно этот узел.

Если конфигурация схемы отличается от описанных вариантов, то, используя перенос идеального источника э.д.с. через узел, следует привести схему к требуемому виду

Система уравнений для определения узловых напряжений , в преобразованной цепи может быть записана следующим образом:

Рассмотрим формирование уравнений по методу узловых напряжений при наличии зависимых источников. Вначале зависимые источники в системе уравнений учитываются в правой части системы как независимые. Затем, используя уравнения Кирхгофа, управляющие токи и напряжения выражаются через узловые напряжения. В завершающем этапе содержащие узловые напряжения слагаемые из правой части системы уравнений переносятся влево от знака равенства и группируются с соответствующими элементами системы.

В качестве примера сформируем систему уравнений по методу узловых напряжений для изображенной на рисунке схемы.

Для данной схемы . Система уравнений, составленная по методу узловых напряжений, имеет порядок :

Определим значения коэффициентов

Выразим управляющие переменные и через узловые напряжения. Можно записать: тогда

Подставим полученные соотношения в выражения для ,

Окончательно получим следующую систему уравнений

Сопоставляя методы контурных токов и узловых напряжений, можно рекомендовать метод контурных токов в тех случаях, когда число независимых контуров графа цепи меньше числа узлов без единицы и метод узловых напряжений при выполнении обратного неравенства.