Резонанс в цепи при последовательном соединении

элементов

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 10.1а

Комплексное сопротивление цепи равно

Угол сдвига между входным током и напряжением обращается в нуль при равенстве нулю реактивного сопротивления цепи, то есть при выполнении условия . Таким образом, состояние резонанса в цепи наступает при частоте . Эта угловая частота называется резонансной. Векторная диаграмма для токов и напряжений в последовательном rLC контуре, построенная при , изображена на рис. 10.1б. Как видно из векторной диаграммы, вектора и равны по величине и противоположны по направлению, таким образом, напряжение при резонансной частоте равно нулю. Индуктивное и равное ему емкостное сопротивление цепи при резонансной частоте

,

обозначаемое символом , носит название волнового сопротивления колебательного контура и измеряется в омах.

Отношение волнового сопротивления к активному сопротивлению в последовательном колебательном контуре называется добротностью, а величина, обратная добротности − затуханием:

, .

Как следует из приведенных соотношений, добротность и затухание являются безразмерными величинами. Поскольку во всех элементах цепи, изображенной на рис. 10.1а протекает один и тот же ток, добротность показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах при резонансе превышает входное напряжение. В реальных колебательных контурах эта величина может достигать значительного уровня. Поэтому резонанс в цепи с последовательным соединением элементов r,L,C иногда называют резонансом напряжений.

При резонансной частоте полное сопротивление z

равно сопротивлению резистора r, ток и входное напряжение совпадают по фазе.

Таким образом, вся мощность, поставляемая в цепь источником, равна активной мощности, потребляемой единственным резистивным элементом, а реактивная мощность цепи равна нулю. Это означает, что в резонансе взаимный обмен энергии происходит только между конденсатором и катушкой индуктивности. Уменьшение энергии электрического поля при разряде конденсатора сопровождается увеличением энергии магнитного поля катушки и наоборот. Обмен энергией между источником и реактивными элементами отсутствует.

Рассмотрим частотные свойства цепи с последовательно соединенными элементами r,L,C. Будем считать, что на входе цепи действует синусоидальное напряжение с постоянной амплитудой и угловой частотой , меняющейся в пределах от 0 до ∞. Изменение частоты приводит к изменению параметров цепи x, z, . На рисунке 10.2 приведены соответствующие частотные характеристики

,

Активное сопротивление рассматриваемой цепи не зависит от частоты, а реактивное при определенных значениях частоты () становится равным либо нулю либо бесконечности. Эти характерные значения называют соответственно нулями и полюсами частотной характеристики. Важным свойством функции является то, что она монотонно возрастает при увеличении частоты . В интервале частот реактивное сопротивление возрастает от − ∞ до 0 и имеет емкостной характер, при реактивное сопротивление возрастает от 0 до ∞ и имеет индуктивный характер.

Рассмотрим зависимость тока в rLC контуре от частоты приложенного напряжения:

.

Анализ этого выражения показывает, что при максимального значения ток достигает в точке, соответствующей резонансной частоте.

Важной характеристикой rLC контура является ширина резонансной кривой или полоса пропускания, которую определяют как разность верхней и нижней частот, для которых отношение составляет :

.

Частоты и , ограничивающие полосу пропускания, могут быть определены из соотношения

,

откуда следует, что на границах полосы пропускания реактивные сопротивления по абсолютной величине равны активному

.

Последнее соотношение эквивалентно равнству

,

Откуда , .

Разность частот и (полоса пропускания) определяется выражением

Если построить зависимость в системе относительных координат , (рис.10.3), то ширина полосы пропускания оказывается равной затуханию контура.

В выражении напряжения на катушке индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При напряжение . С увеличением частоты напряжение возрастает и стремится к входному при . Можно показать, что при эта зависимость монотонна, а при имеет максимум (рис. 10.4).

Напряжение на конденсаторе . При ток в контуре отсутствует и все входное напряжение оказывается приложенным к конденсатору. При напряжение на конденсаторе стремится к нулю. Для цепи, добротность которой превышает , зависимость имеет максимум; если , напряжение на конденсаторе монотонно уменьшается с ростом частоты.