Резонанс в цепи при параллельном соединении

элементов

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 10.5а), представляющую собой параллельный колебательный контур

При анализе частотных свойств цепи с параллельным соединением элементов g, L, C целесообразно рассмотреть комплексную проводимость цепи

.

Условием резонанса здесь также будет равенство нулю угла сдвига между входным током и напряжением, которое в данном случае сводится к условию равенства нулю реактивной проводимости

Из последнего равенства следует, что резонанс наступает при частоте

Векторная диаграмма для токов и напряжений при частоте резонанса изображена для параллельного колебательного контура на рис. 10.5б. Как следует из диаграммы, при резонансе токи катушки индуктивности и конденсатора равны по величине и противоположны по направлению, следовательно ток равен нулю. Для рассматриваемой цепи вводятся понятия:

· волновой проводимости

· затухания d

· добротности Q

В режиме резонанса полная проводимость цепи

равна проводимости резистора и входной ток совпадает с током через этот резистор

Поскольку входное напряжение одновременно приложено и к конденсатору и к катушке индуктивности, токи в этих элементах

,

при соответствующей величине их параметров могут существенно превышать входной ток. Поэтому резонанс в цепи с параллельным соединением элементов g, L, C иногда называют резонансом токов. Полная мощность, поставляемая в цепь источником, равна активной мощности, выделяемой на резисторе. Обмен энергией в резонансе происходит только между конденсатором и катушкой индуктивности, входящих в состав цепи, но не между источником и реактивными элементами.

На рисунке 10. 6а приведены зависимости активной, реактивной и полной проводимостей от частоты приложенного напряжения.

,

Рис. 10.6

Реактивная проводимость имеет три характерных значения при частотах и , для которых (полюса функции ) и − нуль функции . В диапазоне частот реактивная проводимость имеет индуктивный характер, при − емкостной. Во всем диапазоне частот наблюдается монотонное уменьшение проводимости от + ∞ до −∞. Соответствующая зависимость разности фаз между током и напряжением в цепи с параллельным соединением элементов g, L, C приведена на рис. 10. 6б.

Рассмотрим зависимость напряжения от частоты при постоянной амплитуде входного тока

.

Напряжение достигает максимального значения при резонансной частоте. Форма кривой зависит от затухания цепи.

Аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении резонанса напряжений, можно показать, что ширина резонансного пика (ширина полосы пропускания), определенная по уровню , как и в случае резонанса в последовательном контуре, равна . На рисунке 10. 7 приведены зависимости при различных значениях затухания в системе относительных координат и .

Зависимость тока в ветви с конденсатором от частоты определяется соотношением

При нулевой частоте ток , при ток в конденсаторе стремится к постоянному значению .

Можно показать, что эта зависимость при имеет монотонный характер, при она имеет максимум (рис. 10.8). Ток в катушке индуктивности при нулевой частоте равен входному току и при . В зависимости от затухания цепи соответствующая резонансная кривая может иметь максимум (при ) или быть монотонной (при ).

Резонанс в цепи при смешанном соединении элементов

Для определения резонансных частот при смешанном соединении элементов следует использовать условие резонанса , эквивалентное выполнению двух условий: и . Рассмотрим несколько примеров.

1. Определить резонансную частоту цепи, схема которой изображена рисунке, при заданных параметрах .

Эквивалентное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

Определяя резонансную частоту из условия , получим

Последнее выражение при дает известный результат , что вполне естественно, поскольку в этом случае элементы и оказываются соединенными последовательно. Отметим, что при выполнении неравенства резонанс не достижим, хотя в цепи присутствуют катушка индуктивности и конденсатор. Так как в данной цепи возможно существование не более одной резонансной частоты, то условие использовать не обязательно.

2. Рассчитать значения резонансных частот для изображенной на рисунке цепи при известных параметрах .

Определим эквивалентную комплексную проводимость цепи

В данной цепи , поэтому .

Получим выражения для резонансных частот, используя оба условия и .

Из равенства имеем

, откуда .

Условие дает

, откуда .

3. В качестве третьего примера рассмотрим некоторые характеристики цепи, состоящей из двух параллельных ветвей, одна из которых содержит элементы , другая .

Полная комплексная проводимость цепи равна

Резонанс в цепи имеет место при равенстве нулю реактивной проводимости

Решив это уравнение относительно частоты , получим

Анализ полученного выражения показывает, что резонанс в рассматриваемой цепи возможен только при выполнении определенных соотношений между ее параметрами. А именно, одновременно должны выполняться неравенства

или

Только в этом случае подкоренное выражение в формуле для резонансной частоты будет положительным.

Особый интерес представляет ситуация, когда . В этом случае выражение для содержит неопределенность вида 0/0, и для определения резонансной частоты целесообразно использовать исходное условие резонанса

Учитывая, что , , получим

Умножив числитель и знаменатель второго слагаемого на , получим очевидное тождество, справедливое для любого значения :

Это означает, что разность фаз между током и напряжением равна нулю (наблюдается состояние резонанса) при любой частоте приложенного напряжения.