Линия без потерь

Если первичные параметры линии , то она называется линией без потерь (рис. 4). Такая идеализация справедлива для коротких по длине линий, работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов радиотехнических устройств, полосковых линий, согласующих СВЧ устройств и других), где выполняются условия и , и резистивными сопротивлением и проводимостью можно пренебречь по сравнению с сопротивлением индуктивности и проводимостью ёмкости в линии.

Коэффициент распространения линии без потерь:

,

и условия (6.1), (6.2) выполняются: коэффициент ослабления амплитуды а коэффициент фазы линейно зависит от частоты, при этом фазовая скорость равна постоянной величине Линия без потерь не вносит амплитудно-частотных и фазочастотных искажений в передаваемый сигнал.

Волновое сопротивление линии без потерь является резистивным.

Уравнения передачи (2.10 б) для линии без потерь с учётом и принимают вид:

(7.1)

(7.2)

Входное сопротивление линии без потерь, согласно (5.1),

(7.3)

С учётом

(7.4)

В зависимости от нагрузки на конце линии различают следующие режимы работы:

- линия с разомкнутыми выходными зажимами ,

- линия с замкнутыми накоротко выходными зажимами ,

- подключение к линии реактивной нагрузки ,

- подключение к линии согласованной нагрузки ,

- подключение к линии несогласованной нагрузки .

Рассмотрим распределение напряжения и тока вдоль линии при различных режимах работы. Уравнения передачи линии без потерь (7.1), (7.2) с учётом имеют вид:

(7.5)

, (7.6)

где , - комплексные значения напряжения и тока в конце линии (то есть в нагрузке); , - комплексные значения напряжения и тока на расстоянии у от конца линии.

7.1. В режиме холостого хода, то есть когда линия на конце разомкнута , уравнения (7.5), (7.6) преобразуются в:

(7.7)

. (7.8)

Если начальную фазу напряжения принять равной нулю (, ), тогда мгновенные значения напряжения и тока:

(7.9)

(7.10)

Действующие значения напряжения и тока в раз меньше амплитудных и соответственно определяются из выражений:

(7.11) (7.12)

В выражения (7.11), (7.12) переменная времени не входит, следовательно, распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии с течением времени не меняется. Рассмотренный режим колебаний называют режимом стоячих волн.

На рисунках 5.а и 5.б показано распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. В линии имеются точки, где амплитуда колебаний равна нулю (узлы напряжения или тока) и точки, где амплитуда колебаний максимальна (пучности напряжения или тока). Стоячие волны являются результатом сложения падающей и отражённой волн с равными амплитудами (). В пучностях фазы обеих волн совпадают и амплитуда суммарной волны вдвое больше амплитуды падающей волны, а в узлах фазы противоположны и амплитуда суммарной волны равна нулю.

Условия возникновения стоячей волны могут быть сформулированы так:

1. α = 0 дБ/м – линия без потерь;

2. |n2| = 1, или Р_н = U₂·I₂·cos(φ_z) = 0 – полное отражение падающей волны от выходных зажимов линии.

При этом U(y) и I(y) - распределения вдоль линии значений амплитуд колебаний, - определяются законами синус или косинус; а фазы этих колебаний от координаты «у» не зависят.

Входное сопротивление разомкнутой линии в режиме холостого хода на расстоянии «у» от выходных зажимов:

(7.13)

График зависимости Х_вх(х.х.)(у) представлен на рисунке 5.в.

Разомкнутая на конце линия длиной от 0 до имеет входное сопротивление емкостного характера (Х_вх(х.х.) < 0).

Линия длиной имеет входное сопротивление равное 0, то есть такой отрезок длинной линии аналогичен последовательному колебательному контуру без потерь (Х_вх(х.х.) = 0).

Линия длиной от до имеет входное сопротивление индуктивного характера (Х_вх(х.х.) > 0).

Линия длиной имеет неограниченно большое входное сопротивление (Х_вх(х.х.) = ∞), то есть такой отрезок длинной линии аналогичен параллельному колебательному контуру без потерь.

7.2. В режиме короткого замыкания, то есть когда линия на конце замкнута , уравнения (7.1), (7.2), (7.3) преобразуются:

(7.14)

Если начальную фазу тока I ₂ принять равной нулю, тогда мгновенные значения напряжения и тока:

(7.15)

Графики распределения амплитудных значений напряжения и тока, а также и входного сопротивления, вдоль линии показаны на рисунках 6.(а, б, в). В короткозамкнутой линии, также как и в разомкнутой, имеет место режим стоячих волн.

Короткозамкнутая линия без потерь длиной имеет неограниченно большое входное сопротивление (X_вх(к.з.) = ∞). Если в линии имеются потери, то входное сопротивление не бесконечно, но достаточно велико. Это свойство используется в схемотехнике.

7.3. При нагрузке линии на реактивное сопротивление образуются стоячие волны, как и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Коэффициент отражения , | n2 |=1. То есть в этом режиме работы длинной линии так же происходит сложение падающей и отражённой волн с равными амплитудами.

Реактивный элемент, подключаемый к линии в качестве нагрузки, можно заменить эквивалентным отрезком линии, входное сопротивление которого равно сопротивлению реактивного элемента. Емкостной элемент можно заменить разомкнутым отрезком линии длиной , а индуктивный элемент – короткозамкнутым отрезком длиной .

Если нагрузка индуктивная, узлы и пучности сдвигаются влево, в сторону генератора, и вправо, в сторону нагрузки, если она емкостная (рис. 7).

7.4. Если линия нагружена на резистивное сопротивление, равное волновому , то нагрузка является согласованной. В этом случае комплексные действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: .

Напряжение и ток совпадают по фазе, так как в линии без потерь Z_в принимает действительное (не комплексное) значение. Коэффициент отражения n2 =0, и в линии существует только падающая волна с неизменной амплитудой (рисунок 8).

Если начальную фазу напряжения принять равной нулю (, ), то

, (7.16)

тогда мгновенные значения напряжения и тока:

. (7.17)

В линии без потерь при согласованной нагрузке образуется бегущая волна, амплитуда которой не зависит от расстояния, а фаза – зависит.

Входное сопротивление согласованной линии резистивное, равно волновому сопротивлению и не зависит от длины линии.

7.5. При подключении несогласованной резистивной нагрузки действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: , тогда

Введём параметр: . Коэффициент отражения | n2 |<1. В линии одновременно присутствуют как бегущие, так и стоячие волны. Это можно показать на примере выражения:

В получившемся выражении первое слагаемое представляет собой бегущую волну (амплитуда не зависит от расстояния; фаза - зависит), а второе слагаемое представляет собой стоячую волну (амплитуда зависит от расстояния по закону cos(βy); фаза - не зависит).

Следовательно, в линии без потерь при резистивной несогласованной нагрузке существует режим смешанных волн.

Распределение действующего значение напряжения вдоль линии описывается выражением:

. (7.18)

Графики распределения действующих значений напряжения вдоль линии при различных соотношениях между R_н и Z_в приведены на рисунке 9.

Чем больше отличие между значениями сопротивления нагрузки R_н и волновым сопротивлением Z_в, тем больше отличие между максимальным и минимальным значениями напряжения U_max и U_min. Для количественной оценки этого отличия, то есть степени рассогласования линии с нагрузкой, служит коэффициент бегущей волны:

(7.19)

В ряде случаев используют понятие коэффициента стоячей волны: .