Рассмотрим линейную систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:
M= .
Среди элементов матрицы aij (i, j =1,...,n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент apq. Строка с номером p, содержащая главный элемент, называется главной строкой. Далее вычисляем множители mi = aiq / apq для всех i p. Затем преобразуем матрицу следующим образом: из каждой i -й неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на mi. В результате получим матрицу, у которой все элементы q -го столбца, за исключением, аpq равны нулю. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M t с меньшим на единицу числом строк и столбцов.
Над матрицей M1, повторяем те же операции, после чего получим матрицу M2,и т. д. Такие преобразования продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую считаем тоже главной. Затем объединяем все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдем последовательно значения неизвестных x i (i =1,2,...,n). Этот этап вычислений называется обратным ходом.
|
|
Все описанные вычисления можно расположить в одной таблице, аналогично компактной схеме Гаусса, и на каждом этапе проводить рассмотренный выше контроль вычислений. Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа mi и тем самым уменьшить погрешность вычислений. Поэтому при реализации метода Гаусса на ЭВМ обычно используют схему с выбором главного элемента.
Результаты всех вычислений удобно записывать в таблицу.
Прямой ход:
1) Записываем в первом разделе таблицы коэффициенты системы
aij (i =1,2,3,4; j =1,2,3,4,5).
2) В столбце = ai 6 записываем суммы коэффициентов по каждой строке.
3) Находим главный элемент, подчёркиваем его.
4) Находим числа mi по формуле mi= aiq / apq, где apq – главный элемент и результаты записываем в столбце mi раздела I.
5) Из каждой i –ой строки вычитаем главную строку, умноженную на соответствующий элемент mi.
6) Контроль: находим суммы и сравниваем с ai6.
Решим с помощью данного метода ту же самую систему уравнений: .
Результаты всех вычислений будем записывать в таблицу (табл. 5):
Прямой ход:
1) Записываем в первом разделе таблицы коэффициенты системы
aij (i= 1,2,3,4; j =1,2,3,4,5).
2) В столбце = ai 6 записываем суммы коэффициентов по каждой строке.
3) Находим главный элемент. В данной системе им будет коэффициент a 14= -8,2 (p =1, q =4), выделяем этот элемент.
|
|
4) Находим числа mi (i= 2,3,4). Для этого делим элементы столбца ai 4 на a 14 и результаты записываем в столбце mi разделаI:
m 2= = =-0,292683; m 3= = =0,3170732; m 4= = =-0,256098.
5) Вычисляем коэффициенты новой матрицы. Из каждой i –ой (i= 2,3,4) строки вычитаем главную строку, умноженную на соответствующий элемент mi.
Так, при i= 2 будем иметь:
1 – (-0,292683)*2=1,5853659;
2,8 – (-0,292683)*(-3,5)= 1,7756098;
3,6 – (-0,292683)*2,7=4,3902439;
2,4 – (-0,292683)*(-8,2)=0;
1,2 – (-0,292683)*0,9=1,4634146;
11 – (-0,292683)*(-6,1)= 9,2146341.
При i= 3,4 продолжаем вычисления аналогичным образом. Результаты записываем в разделе II. При этом не выписываем главную строку.
6) Контроль: находим суммы и сравниваем с , например, 9,2146341= и т.д.
7) Выбираем главный элемент, выделяем его. В нашем случае это будет = -6,8963415.
8) Делим элементы столбца ai 2 на . Получаем числа:
= -0,257471;
-0,523431.
9) Вычисляем коэффициенты . Для этого из каждой i –ой (i= 2,3) строки вычитаем главную строку, умноженную на соответствующий элемент . Так, при i= 2 будем иметь:
1,5853659–(-0,257471)*5,5121951=
=3,0045977;
1,7756098 – (-0,257471)*(-6,8963415)=0;
4,3902439 – (-0,257471)*5,4914634=
=5,8041379;
1,4634146 – (-0,257471)*10,2304878=
=4,0974713;
9,2146341 – (-0,257471)* 14,3378049=
=12,9062069.
При i= 3 вычисления ведутся аналогично. Результаты записываем в разделе III, оставляя свободными уже столбцы ai 2 и ai 4.
10) Контроль: сумма (i= 2,3) должна равняться ; это условие выполняется.
11) Выбираем главный элемент, выделяем его. В нашем случае это будет =5,8041379.
12) Находим -0,30697. Записываем в столбец mi раздела III.
13) Вычисляем коэффициенты . Для этого из третьей строки вычитаем главную строку, умноженную на соответствующий элемент . Получаем:
3,2511052 – (-0,30697)*3,2511052=
=4,1734273;
-1,7816976 – (-0,30697)*5,8041379=0;
19,0695844 – (-0,30697)*4,0974713=
=20,3273862;
Таблица 5
i | mi | ai 1 | ai 2 | ai 3 | ai 4 | ai 5 | = ai 6 | | |
I | -3,5 | 2,7 | -8,2 | 0,9 | -6,1 | ||||
-0,29268 | 2,8 | 3,6 | 2,4 | 1,2 | |||||
0,31707 | 2,5 | -3,8 | -2,6 | 11,1 | |||||
-0,25609 | -6 | 4,8 | 2,1 | 15,9 | |||||
II | -0,25741 | 1,585365 | 1,775609 | 4,3902439 | 1,46341 | 9,214634 | 9,21463 | ||
-0,52343 | 0,365853 | 3,609756 | -4,656097 | 13,7146 | 13,03414 | 13,0341 | |||
5,512195 | -6,89634 | 5,491463 | 10,2304 | 14,33780 | 14,3378 | ||||
III | 3,004597 | 5,804137 | 4,09747 | 12,90620 | 12,9062 | ||||
-0,30697 | 3,251105 | -1,781697 | 19,0695 | 20,53899 | 20,5389 | ||||
IV | 4,17342 | 20,3273 | 24,50081 | 24,5008 | |||||
V | 4,87066 | x1 | |||||||
0,964032 | x2 | ||||||||
-1,815417 | x3 | ||||||||
0,06897 | x4 |
20,5389920 – (-0,30697)* 2,9062069=
=24,5008135.
14) Контроль: .
15) Выписываем главные строки каждого раздела. Получим систему, эквивалентную данной системе:
Обратный ход:
16) Результаты вычислений при реализации обратного хода записываем в разделе V: x1=20,3273862/4,1734273= 4,8706698,
x3=(4,0974713 – 3,0045977*4,8706698)/ 5,8041379= -1,8154172,
x2=(10,2304878 – 5,5121951*4,8706698 – 5,4914634*(-1,8154172))/
/ (-6,8963415)= 0,9640325,
x4=(0,9 – 2*4,8706698+3,5*0,9640325 – 2,7*(-1,8154172))/(-8,2)=0,0689755.