Применение почленного интегрирования

14.27. Разложить в ряд по степеням х функцию y = arcsin x.

Решение. Среди готовых разложений (14.6)-(14.12) ряда для данной функции нет. В то же время производная этой функции может быть разложена в степенной ряд с помощью биноминального ряда (14.10) (см. пример 14.24, б):

Учитывая, что искомый ряд найдем почленным интегрированием данного ряда на отрезке [0; x ], принадлежащем интервалу сходимости ряда (-1;1):

14.28. Разложить в ряд по степеням х функцию применяя различные способы.

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.4).

Вначале найдем производные до n -го порядка и вычислим их значения при х = 0:

и т.д.

Теперь по формуле (14.4) запишем ряд:

или

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть (- ∞;+ ∞).

Второй способ. Учитывая, что используем готовое разложение в ряд (14.9) функции cos x (в котором вместо х берем 2 х), умножаем обе части полученного равенства на а затем прибавляем к ним

Третий способ. Для функции f (x)=cos x, имеющей разложение (14.9), т.е.

применим правило (14.19) возведения в квадрат степенного ряда:

Четвертый способ. Относительно легко можно разложить в ряд производную функции т.е. (берем члены ряда (14.8) с противоположными знаками, а вместо х берем 2 х):

Для получения искомого разложения почленно интегрируем полученный ряд на отрезке [0; x ], принадлежащем интервалу сходимости (- ∞;+ ∞), т.е. при любом х:

(к полученному почленным интегрированием ряду добавили 1, так как

Разложить в степенной ряд по степеням х функции:

14.29. 14.30. 14.31.

14.32. 14.33. 14.34.

14.35. 14.36. 14.37.

14.38. . 14.39. . 14.40.

14.41. 14.42. 14.43.

14.44. 14.45. 14.46.

14.47.

Разлагая подынтегральную функцию в ряд по степеням х и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд функций:

14.48. 14.49. 14.50.

Разложить в степенной ряд функции:

14.51. по степеням (х -1). 14.52. по степеням (х -2).

14.53. по степеням (х -1). 14.54. по степеням (х +2).

Применяя почленное интегрирование или дифференцирование рядов, найти их суммы:

14.55. 14.56.

14.57.

14.3. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды могут быть использованы для приближенного вычисления значений различных функций, определенных интегралов (в том числе «неберущихся»), нахождения пределов и т.п.

14.58. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

а) б) в) г) д) е)

Решение:

а) Для вычисления запишем ряд (14.6) при х = -3/4, принадлежащем области сходимости (-∞;+∞):

Взяв первые семь членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (гл. 13.3, п. 5) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

Итак, складывая первые семь членов, получим

Более точно оценить погрешность вычисления можно, используя формулу Тейлора (14.14). Взяв в качестве величины первые (n +1) членов ряда (вместе с нулевым), мы допускаем погрешность, определяемую остаточным членом (14.15) при или

Для функции т.е. Следовательно, при х = -3/4

где

При n = 6, т.е. просуммировав вместе с нулевым 7 членов ряда, мы получим при этом остаточный член заключен в границах от минимального до максимального т.е.

–0,000026< R_n <–0,000013. Следовательно, точное значение находится в пределах 0,472365< <0,472378. Неизменны 4 десятичных знака, следовательно, с точностью до δ =0,0001

(Легко показать, что суммирование менее, чем семь членов ряда (n <6), не обеспечивает данной в условии точности ответа.)

б) Для вычисления ln0,6 запишем ряд (14.7) при х = -0,4, входящем в область сходимости ряда (-1;1]:

Если в качестве ln0,6 взять первые восемь членов, мы допустим погрешность

(мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна

Итак, складывая первые восемь членов, получим:

Заметим, что при суммировании только семи членов погрешность т.е. не удовлетворяет заданной в условии точности до 0,0001.

Замечание. Оценка погрешности вычисления ln0,6 с помощью остаточного члена формулы Тейлора оказывается в данном случае менее эффективной. Действительно, для функции f (x)=ln(1+ x)

тогда по формуле (14.15) остаточный член

где 0 < ξ < х или х < ξ < 0.

При n = 8, x = -0,4 Следовательно, или а значит, , т.е. что гарантирует точность вычисления лишь до 0,01 (а точнее, до 0,003).

в) Вычислить ln3 = ln(1+2) с помощью ряда (14.7) для функции y = ln(1+ x) не представляется возможным, так как х = 2 не входит в область сходимости ряда (-1;1].

Воспользуемся рядом, приведенным в гл. 14.2:

(14.23)

Этот ряд позволяет вычислять логарифмы любых чисел, так как при изменении х в интервале сходимости ряда (-1;1) дробь меняется в интервале (0;+∞).

Пусть тогда и

(суммируем семь членов ряда – обоснование аналогично п. б).

Ряд (14.23) по сравнению с рядом (14.7) быстрее сходится, и потому удобнее для вычисления логарифмов. Так, если для вычисления ln0,6 с точностью до 0,0001 потребовалось суммировать восемь членов ряда (14.7) – см. п. б), то с помощью ряда (14.23) та же точность достигается при сложении лишь трех членов.

г) Представим в виде Так как после проведенного преобразования входит в область сходимости (-1;1) биноминального ряда (14.10), то при , получим, учитывая (14.10):

(Для обеспечения данной в условии точности расчета достаточно взять три члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность Итак,

д) Для вычисления запишем ряд (14.9) при принадлежащем области сходимости (-∞;+∞):

(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

Итак,

е) «Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив х на (- х ²) в разложении (14.6), получим

Почленно интегрируя ряд на отрезке принадлежащем интервалу сходимости ряда (-∞;+∞), получим

(оценка погрешности производится также, как в примерах а), г) и д)).

14.59. Найти пределы:

а) б)

Решение. Нахождение указанных пределов требует неоднократного применения правила Лопиталя (с учетом первого замечательного предела, либо использования эквивалентных бесконечно малых). Вместе с тем эти пределы относительно легко могут быть вычислены, если использовать разложение входящих в них функций в степенные ряды.

а) Заменим и их разложениями (14.6), (14.8) в степенные ряды. Получим

б) Заменяя и их разложениями (14.8), (14.11) в степенные ряды, найдем

Вычислить приближенно с точностью δ:

14.60.

14.61.

14.62.

14.63.

14.64.

14.65.

14.66.

14.67.

14.68.

14.69.

14.70.

14.71.

14.72.

14.73.

14.74.

14.75.

Вычислить приближенное значение интегралов, взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность:

14.76. 14.77.

Найти пределы:

14.78. 14.79.

14.80. 14.81.

14.82. Прибыль от реализации продукции промышленного предприятия растет в зависимости от роста удельного веса р высококачественных изделий в общем объеме выпуска продукции по формуле где а >1, 0≤ р ≤0,2. Аппроксимировать функцию линейной и оценить получаемую при этом погрешность.