2015-03-22
1801
1. Частными производными функции 
по 
и по 
называются пределы вида:
; 
. (15.1)
2. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения независимых переменных
(15.2)
или 
, (15.3)
учитывая, что 
. (15.4)
3. Производной 
по направлению 
функции называется предел
. (15.5)
Производная по направлению может быть выражена через частные производные по формуле , (15.6)
где единичный вектор 
задает направление (с углами 
и 
, образуемыми с осями координат).
4. Градиентом функции называется вектор 
. (15.7)
Градиент функции в точке 
, отличный от нуля, перпендикулярен линии уровня, проходящего через эту точку.
15.27. Найти частные производные функции 
.
Решение. При дифференцировании по считаем постоянной величину .Таким образом, 
. При дифференцировании по считаем постоянной величину , следовательно, 
.
15.28. Найти частные производные второго порядка функции двух переменных 
.
Решение. Частные производные 1 – го порядка имеют вид:
.
Считая их новыми функциями двух переменных, найдем их частные производные. Получаем:
.
15.29. Найти длину вектора 
градиента функции 
в точке (0;0).
Решение. Компонентами вектора (15.7) являются частные производные функции, т.е. 
. В точке (0;0) получаем 
. Соответственно длина вектора равна 
.
15.30. Найти производную функции 
в точке (2;0) по направлению, параллельному биссектрисе первого координатного угла.
Решение. Прямая, проходящая через точку (2,0) параллельно биссектрисе первого координатного угла, задается уравнением 
(см. (4.7)). Ее углы с осями координат (как и у биссектрисы) равны 
. Следовательно. По формуле (15.6):
.
Найти частные производные функций:
15.31.  . | 15.32.  | 15.33.  |
15.34.  | 15.35.  | 15.36.  |
15.37.  | 15.38.  | 15.39.  |
Найти полные дифференциалы функций:
15.41. 
. 15.42. 
15.43. 
15.44. 
. 15.45. 
15.46. 
Найти производные функций по заданным направлениям l:
15.47. 
; l составляет с осью Ох угол 
.
15.48. 
; l – биссектриса 1-го координатного угла.
15.49. Вычислить производную функции 
в точке М(2;1)
по направлению l – прямой МN, где N (5,5).
15.50. Вычислить производную функции 
в точке М(1;1) по направлению l – перпендикуляра к прямой y = 2х – 1.
Найти градиент функции z = f(x,y) и его модуль для функций в указанных точках М:
15.51. 
; М(1;2 ). 15.52. 
; М(0;3).
15.53. 
; М(0;-1 ). 15. 54. 
; М(-1;2 ).
15.55. 
; М 
.
15.3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
