2015-03-22
658
1. Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется неравенство
.
2. Если в точке максимума или минимума обе частные производные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке (необходимое условие экстремума).
3. Если в точке 
обе частные производные обращаются в нуль, то характер этой точки определяется величиной 
, где 
, 
, 
.
При 
имеется экстремум (максимум при 
и минимум при 
).
При 
функция в данной точке не имеет экстремума.
При 
вопрос о наличии экстремума остается открытым (достаточное условие экстремума).
4. Наибольшее (наименьшее) значение функции (глобальный максимум (минимум)) определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.
5. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при условии 
если, существует такая окрестность этой точки, что во всех точках (х, у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g (x, у) = С, выполняется неравенство 
.
Уравнение называется уравнением связи. Точка условного экстремума является точкой экстремума функции 
. Функция L называется функцией Лагранжа, а 
, – множителем Лагранжа. 
6. При исследовании функции на экстремум рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1. Найти частные производные 
и 
2. Решить систему уравнений 
и 
и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
15.56. Найти экстремумы функции 
.
