Краткая теория. 1. Если каждому набору переменных из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной

1. Если каждому набору переменных из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной , то говорят, что задана функция нескольких переменных .

Множество называется областью определения функции.

2. График функции двух переменных есть множество точек трехмерного пространства () и представляет собой, как правило, некоторую поверхность.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно . Число в этом случае называется уровнем.

3. Число называется пределом функции при,, если для любого числа найдется , зависящее от , такое, что для всех точек , отстоящих от точки не более, чем на , выполняется неравенство .

15.1. Найти область определения функции .

Решение. Область определения представляет собой решение системы неравенств:

Множество значений х, у, удовлетворяющих (*), представляет собой внутренность круга с центром (0; 0) и радиусом, равным 2. Решения (**) – внешность круга радиуса 1 с центром (0; 0). Условие (***) означает, что в область определения не входит окружность с центром в начале координат и радиусом, равным . Таким образом, область определения представляет собой два кольца (см. рис. 15.1).

15.2. Построить графики функций:

а) ; б) .

Решение:

а) Так как , график расположен выше плоскости . Его сечения плоскостями

и представляют собой полуокружности радиуса 3 с центром в начале координат. «Нижняя» граница графика (пересечение с плоскостью )представляет собой окружность радиуса 3 (рис.15.2).

б) В этом случае сечения графика плоскостями и представляют собой параболы с вершиной в точке (0;0;9) и ветвями, направленными вниз. Сечение плоскостью есть окружность с центром в начале координат и радиуса 3. Функция не ограничена снизу. Ее график представлен на рис. 15.3.

15.3. Построить линии уровня функции .

Решение. Линии уровня имеют вид , т.е. представляют собой график функции . Функция определена при , имеет правостороннюю асимптоту, ось абсцисс, вертикальную асимптоту – ось ординат. Единственная критическая точка - это точка максимума. Значение функции при этом . Таким образом, линии уровня имеют вид, показанный на рис. 15.4.

15.4. Найти предел

Решение. Обозначим . Тогда условие равносильно тому, что и искомый предел примет вид:

(применили правило Лопиталя).

15.5. Исследовать на непрерывность в точке (0;0) функцию .

Решение. Будем приближаться к точке (0;0) по направлению прямых . Тогда будем иметь .

Значения пределов различны при различных , следовательно, предела функции двух переменных не существует, и функция не является непрерывной в точке (0;0).