Синтез замкнутых систем при произвольной структуре

Необходимо синтезировать замкнутую систему, изменяющую координату объекта y(t) в соответствии с законом

где - входное воздействие, – некоторый оператор,

причем - случайный процесс.

Система подвергнута случайному возмущающему воздействию , которое в общем случае может быть коррелированно с .

Считаем, что приведено ко входу системы (смотри методы переноса сигнала по системе). Синтез замкнутой системы проводим из условия обеспечения минимума среднего квадрата ошибки:

W_з(p)

z(t)

g(t)

y(t)

Необходимо при синтезе определить оптимальную передаточную функцию замкнутой системы, включающую объект и формирователь управляющего воздействия, а также датчики и исполнительные механизмы, из условия обеспечения минимума .

Для этой системы

В этом случае

Спектральная плотность ошибки для некоррелированных воздействий равна:

где и - спектральные плотности входных воздействий.

При суммировании или вычитании случайных процессов спектральные плотности суммируются.

Задача – найти такую , чтобы интеграл был минимальным.

В связи с тем, что под интегралом стоит сумма положительных функций, минимум интеграла будет в случае, когда каждая функция будет минимально возможной.

Слагаемое будет минимальным в случае, когда произведение будет максимальным, т.к. перед ним стоит «-».

Это выражение будет максимальным, если , т.е. фазовые характеристики r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> совпадают.

При этом условии спектральная плотность ошибки будет иметь вид:

, обеспечивающее минимум заведомо положительной функции , может быть найдена из уравнения:

Дифференцируем функцию по функции :

Отсюда:

С учетом равенства фазовых характеристик получаем:

– передаточная функция замкнутой оптимальной системы.

Для коррелированных случайных процессов оптимальная передаточная функция замкнутой системы:

Проблема заключается в том, что полученная т.о. оптимальная передаточная функция крайне редко может быть реализована. Это связано с тем, что отдельно формировались условия для получения фазовой и амплитудной частотных характеристик системы, а они связаны друг с другом.

Например, если синтезируется система регулирования, для которой , , , то

Как видно, частотная характеристика получилась действительной, зависящей от .

Т.к. частотная характеристика есть преобразование Фурье от весовой функции, то вещественной (действительной) частотной характеристике соответствует симметричная относительно оси ординат весовая функция, т.е. функция, не равная 0 для отрицательного времени. а поскольку весовая функция есть реакция системы на - импульс при нулевых начальных условиях, то это означает, что реакция системы возникает до поступления – импульса, что не реально. Вещественная функция может быть получена путем перемножения комплексно- сопряженных функций, т.е. функций, зависящих от и .