Основные понятия. Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее дифференциалу. Второй основной задачей интегрального исчисления является определение площади плоской области и объема тела вращения.

Функция называется первообразной для функции , если функции и связаны следующим соотношением:

Пример. Функция вяляется первообразной для функции , так как .

Если для данной функции существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

или в общем виде

где – произвольная постоянная, так как при любом значении

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида все возможные первообразные для или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для .

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если есть какая-либо из первообразных для данной функции , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

где – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть есть любая функция, имеющая своей производной .

С другой стороны, рассматриваемая функция также имеет своей производной, то есть .

Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

и, следовательно,

где есть постоянная, что и требовалось доказать.

Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции , то сама функция может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция является первообразной для , то семейство всех ее первообразных функций называется неопределенныминтегралом от функции и обозначается как .

Таким образом, по определению

если

При этом функцию называют подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, переменную – переменной интегрирования, а знак – знаком интеграла. Действие, с помощью которого по данной функции находим ее первообразную , называется интегрированием функции .