Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла вытекают из основных свойств сумм и пределов.

1. Постоянный сомножитель можно вынести за знак определенного интеграла:

, .

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций и , интегрируемых на , равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е.

.

Данное свойство распространяется и на сумму любого конечного числа интегрируемых функций.

3. Если отрезок интегрирования разбит точкой на два отрезка и , то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям:

.

Точка может находиться и вне отрезка .

4. Интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю, т.е.

.

5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

.

6. Теорема о среднем значении.

Если непрерывна на , то существует такая точка , что справедливо следующее равенство:

.

Нетрудно понять геометрический смысл этого равенства: интеграл, стоящий слева есть площадь криволинейной трапеции. Произведение, стоящее в правой части равенства, - площадь равновеликого ей прямоугольника с высотой и основанием (см. рис. 20).

Число называется средним значением функции на отрезке .

7. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, взятой при значении верхнего предела:

.