Замечание

Если на множестве Х функции и одновременно возрастают или убывают, то .

Если на множестве Х одна из функций или возрастает, а другая убывает, то .

1. Пусть . Так как функция если , убывает, а функция возрастает, то

Так как неравенство квадратное, коэффициент при положительный и , то множеством решений этого неравенства является множество , где . Это множество содержит более трёх целых чисел.

2. Пусть Так как функции , если , возрастают, то

Рассмотрим неравенство

, где , (3)

1) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где , который ни при каких значениях не содержит ровно трёх целых чисел.

2) Пусть . Тогда неравенство (3) принимает вид , так как последнее неравенство не имеет решений, то не удовлетворяет условию задачи.

3) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где . Интервал где , содержит ровно три целых числа (это числа: 4, 5, 6), если .

Ответ. .

35. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (1) выполняется для любых пар чисел таких, что .

Решение. Имеем

Если то неравенство (1)принимает вид

Рассмотрим систему

Отметим: если система неравенств (2) выполняется для любых значений х при некотором значении параметра то неравенство (1)выполняется для любых пар чисел таких, что при значении параметра

Система неравенств (2) имеет решения при любых значениях х тогда и только тогда, когда 1) в первом неравенстве коэффициент при положительный и дискриминант 2) во втором неравенстве коэффициент при не отрицательный, то есть, если

Система (2) выполняется для любых значений х, если

Ответ. .

36. Найдите все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства является решением неравенства

Решение. 1. Найдём решение неравенства (1).

Неравенство (1) равносильно системе

Итак, решениями неравенства (1) являются .

2. Так как надо найдите все значения параметра а, при которых каждое является решением неравенства (2), то рассмотрим это неравенства при .

2. Рассмотрим неравенство (2) при различных значениях параметра а.

1) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ). Параметр не удовлетворяет условию задачи.

2) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ). Параметр не удовлетворяет условию задачи.

3) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ).

Рассмотрим функции .

Имеем

Графиком функции является полуокружности, расположенная над осью абсцисс, с центром в точке (а; 0) и радиусом, равным а. На координатной плоскости х0у построим графики функций при некотором значении а. Отметим: прямая проходит через точку (а; 0) – центр окружности.

Из рисунка 17 следует: если то решением неравенства (2) является отрезок где . Абсциссу точки пересечения графиков функций найдём из системы

Итак, решениями неравенства (2) являются где и .

2) Промежуток является решением неравенства (2) при тех значениях параметра , при которых . Значения параметра найдём из системы

Из последней системы следует ответ.

Ответ. .

Замечание. График уравнения симметричен относительно осей координат. Для построения графика уравнения (1) надо построить график уравнения . График уравнения (1) получается симметричным отображением относительно осей координат графика уравнения (2) (каждая точка графика уравнения (2) переходит в точки )

37. Найдите все значения параметра а, при которых количество целых чисел удовлетворяющих неравенству минимально.

Решение. Для построения графика неравенства надо

1) построить график уравнения где (*);

2) симметричным отображением относительно осей координат графика уравнения (*) построить график уравнения

3) изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству (берём любую точку плоскости и определяем, будет ли она удовлетворять рассматриваемому неравенству, затем воспользуемся замечанием на стр. 2).

1. Рассмотрим неравенство (1) при различных значениях параметра а.

1) Если то неравенство (1) принимает вид Решением последнего неравенства является полоса (рис. 18 а)), которая содержит бесконечное множество целочисленных точек .

2) Если то неравенство (1) принимает вид На рисунке 18 б) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 б) следует, что множество решений неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

3) Пусть .

Построим график неравенства где На рисунке 18 в) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 в) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

4) Пусть .

Построим график неравенства где На рисунке 18 г) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 г) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

5) Пусть

Построим график неравенства где (2)

Множеством решений неравенства (2) является ромб с вершинами в точках: где

Пусть множеством решений неравенства (2) является множество Х.

2. Рассмотрим неравенство (2) при .

1) Если , то Поэтому для любого множеству Х принадлежат три целочисленных точки: .

Множеству Х будут принадлежать три целочисленных точки тогда и только тогда, когда

Так как последняя система не имеет решений, то множеству Х принадлежит более трёх целочисленных точек (следует из 1)).

2) Пусть

Если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек:

(рисунок 18 д))

3) Пусть

Если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек: . (рисунок 18 е)) Итак, если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек. При других значениях параметра а множеству Х принадлежит более пяти целочисленных точек.

Ответ.

38. Найдите все значения параметра а, при которых множество точек, заданное неравенством является подмножеством множество точек, заданное неравенством

Решение. Пусть множество решений неравенства (1) есть множество , а неравенства (2) – . Надо найти все значения параметра а, при которых

1. Рассмотрим неравенство (2). Имеем

Построим график системы (3).

1) Графиком функции , где является часть параболы, с вершиной в точке осью симметрии которой является ось абсцисс и ветви направлены вправо.

2) Графиком функции где является часть параболы, с вершиной в точке осью симметрии которой является ось абсцисс и ветви направлены влево.

3) График системы (3) (график множества ) изображён на рисунке (19 а)) штриховкой, граница области принадлежит графику системы.

2. Рассмотрим неравенство при различных значениях параметра а.

1) Если то неравенство (1) принимает вид . Решением последнего неравенства (множество ) является полоса (рис. 19 б)), которая содержит множество . Параметр удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть .

График неравенства , где , изображён штриховкой на рисунке 19 в). Из рисунка 19 в) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства (множество ) содержит множество . Параметр удовлетворяет условию задачи.

3) Пусть

Построим график неравенства , где

На рисунке 19 г) штриховкой показано множество решений последнего неравенства (множество ). Множеством решений неравенства (2) является ромб с вершинами в точках:

Рассмотрим, при каких значениях параметра а ромб содержит множество (т.е. ) Так как графики каждого неравенства (1) и (2) симметричны относительно осей координат, то рассмотрим эти неравенства при В этом случае неравенства (1) и (2) соответственно принимают вид: и