Метод областей

5. Решите неравенство . (1)

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек,

удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1) проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Построим прямые и . Эти прямые разобьют координатную плоскость х0а на 4 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

1) В области I уравнение (1) равносильно системе

В области I не существует точек, принадлежащих прямой (так как ).

2) В области II уравнение (1) равносильно системе

Из последнего уравнения системы следует, что

В области II строим часть прямой Для этого найдём точки пересечения прямой с границей области: и .

а) Точки пересечении прямых найдём из системы

Точки принадлежит области II.

б) Точкой пересечении прямых и является точка , которая не принадлежит области II.

Очевидно, прямая проходит через точку которая принадлежит области II.

Через точки и в области II строим часть прямой

3) В области III уравнение (1) равносильно системе

Из последнего уравнения системы следует, что

В области III строим часть прямой

Точка является точкой пересечения прямых и . Точка является точкой пересечения прямых и . Через точки и в области III строим часть прямой .

3) В области IV уравнение (1) равносильно системе

В области IV строим часть прямой .

3. Дляопределения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 0) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 0) не удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой не принадлежит точка (0; 0). (Воспользовались замечанием на стр. 2.) Заштрихованная область, в которую не входит граница области (рисунок 6), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые .

Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точке с абсциссой , то решениями исходного неравенства при являются .

Из рисунка 6 и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

6. Решите неравенство .

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1), проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Построим параболы и . Эти параболы разобьют координатную плоскость х0а на 3 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

В области I уравнение (1) равносильно системе

В области I строим часть прямой .

Найдём точки пересечении прямой и параболы (граница области) из системы

Точки и являются решениями последней системы. Через эти точки в области I строим часть прямой . Из последнего уравнения следует, что .

В области II уравнение (1) равносильно системе

Графиком уравнения является совокупность прямых и . Прямая в области II проходит через точки и (точки пересечения прямой с границей области). Прямая в области II проходит через точки и (точки пересечения прямой с границей области).

В области III уравнение (1) равносильно системе

В области III строим часть прямой . Для этого найдём точки пересечении прямой и параболы (граница области) из системы

Точки и являются решениями последней системы. Через эти точки в области III строим часть прямой . Из последнего уравнения следует, что .

Дляопределения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 1) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 1) удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (0; 1). (Воспользовались замечанием на стр. 2.)

Заштрихованная область, в которую входит граница области (рисунок 7), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые .

Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точках с абсциссами и , то решениями исходного неравенства при являются .

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в одной точке с абсциссой , то исходное неравенство при имеет единственное решение .

Из рисунка 7 и замечания следует ответ.

Ответ. Если ,то решений нет; если , то ; если ,то ; если , то ; если , то .