2015-03-22
776
5. Решите неравенство 
. (1)
Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек,
удовлетворяющих уравнению 
. (1)
Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1) проделаем следующее.
1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: 
. Построим прямые 
и 
. Эти прямые разобьют координатную плоскость х0а на 4 области.
2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.
1) В области I уравнение (1) равносильно системе
В области I не существует точек, принадлежащих прямой 
(так как 
).
2) В области II уравнение (1) равносильно системе
Из последнего уравнения системы следует, что 
В области II строим часть прямой Для этого найдём точки пересечения прямой 
с границей области: 
и 
.
а) Точки пересечении прямых 
найдём из системы
Точки 
принадлежит области II.
б) Точкой пересечении прямых 
и является точка 
, которая не принадлежит области II.
Очевидно, прямая 
проходит через точку 
которая принадлежит области II.
|
|
|
Через точки 
и 
в области II строим часть прямой
3) В области III уравнение (1) равносильно системе
Из последнего уравнения системы следует, что 
В области III строим часть прямой 
Точка является точкой пересечения прямых 
и . Точка 
является точкой пересечения прямых и 
. Через точки 
и 
в области III строим часть прямой 
.
3) В области IV уравнение (1) равносильно системе
В области IV строим часть прямой 
.
3. Дляопределения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства 
, возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 0) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 0) не удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой не принадлежит точка (0; 0). (Воспользовались замечанием на стр. 2.) Заштрихованная область, в которую не входит граница области (рисунок 6), соответствует множеству решений исходного неравенства.
Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые 
.
Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.
Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точке с абсциссой 
, то решениями исходного неравенства при являются 
.
Из рисунка 6 и замечания следует ответ.
Ответ. Если 
, то нет решений; если 
, то 
; если 
то 
6. Решите неравенство 
.
Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнению 
. (1)
Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1), проделаем следующее.
1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: 
. Построим параболы 
и 
. Эти параболы разобьют координатную плоскость х0а на 3 области.
|
|
|
2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.
В области I уравнение (1) равносильно системе
В области I строим часть прямой 
.
Найдём точки пересечении прямой 
и параболы 
(граница области) из системы
Точки 
и 
являются решениями последней системы. Через эти точки в области I строим часть прямой 
. Из последнего уравнения следует, что 
.
В области II уравнение (1) равносильно системе
Графиком уравнения 
является совокупность прямых 
и 
. Прямая 
в области II проходит через точки 
и 
(точки пересечения прямой 
с границей области). Прямая 
в области II проходит через точки 
и 
(точки пересечения прямой 
с границей области).
В области III уравнение (1) равносильно системе
В области III строим часть прямой 
. Для этого найдём точки пересечении прямой и параболы 
(граница области) из системы
Точки и являются решениями последней системы. Через эти точки в области III строим часть прямой 
. Из последнего уравнения следует, что 
.
Дляопределения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 1) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 1) удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (0; 1). (Воспользовались замечанием на стр. 2.)
Заштрихованная область, в которую входит граница области (рисунок 7), соответствует множеству решений исходного неравенства.
Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые 
.
Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.
Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точках с абсциссами 
и 
, то решениями исходного неравенства при являются 
.
Если прямая пересекает границу заштрихованной области в одной точке с абсциссой , то исходное неравенство при имеет единственное решение .
Из рисунка 7 и замечания следует ответ.
Ответ. Если 
,то решений нет; если 
, то 
; если 
,то 
; если 
, то 
; если 
, то 
.
