Графический метод

21 22 23 24 25 26 27

3. Решите неравенство .

Решение. Перепишем неравенство в виде (1)

1. Рассмотрим функции .

1) Графиком функции , является «подвижный уголок» с вершиной в точке и со сторонами

2) Имеем

График функции проходит через точку .

Отметим: прямые параллельны.

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда (график функции расположен выше графика функции ).

2. График функции проходит через точку А (вершина «подвижного уголка»), если

График функции проходит через точку , если

Ось абсцисс точками разбивается на 3 промежутка: .

3. Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть

Если то при графики функций совпадают (рис. 4 а)), тогда неравенство (1) не имеет решений (так как ) Если то (рис. 4 а)), тогда неравенство (1) не имеет решений.

Итак, если то неравенство (1) не имеет решений.

2) Пусть . Из рисунка 4б) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и найдём из уравнения

Итак, если , то решениями неравенства (1) являются .

3) Пусть . Из рисунка 4в) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и найдём из уравнения

Итак, если то решениями неравенства (1) являются .

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

4. Решите неравенство . (1)

Решение. ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ).

Так как неравенство (1) не имеет решений, если (в этом случае ), то рассмотрим это неравенство при

1. Рассмотрим функции .Имеем

Графиком функции является полуокружность, расположенная выше оси абсцисс, с центром в точке (0; 0) и радиусом, равным

Графиком функции является «уголок с подвижными сторонами» с вершиной в точке и со сторонами

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда .

2. Рассмотрим следующие случаи.

1) Графики функций , пересекаются не более чем в одной точке, если имеет не более одного решения система

Система (2) имеет не более одного решения, если имеет не более одного решения квадратное уравнение

Квадратное уравнение (3) имеет не более одного решения, если при дискриминант этого уравнения . Имеем

Если то решением квадратного уравнения (3) является ; если то уравнение (3) не имеет решений. Из рисунка 5 следует: решениями неравенства (1), если являются ; если то , так как в этом случае .