Метод интервалов

1. Решите неравенство . (1)

Решение. Рассмотрим следующие три случая.

1. Если , то неравенство (1) принимает вид

Если , то решениями неравенства (1) являются

2. Если то неравенство (1) равносильно системе

1) Рассмотрим неравенство где и . (2)

а) Если где , принадлежит интервалу где , то решением неравенства (2), а значит и неравенства (1), будет интервал , если

Решениями неравенства (1) являются где

б) Если где , не принадлежит интервалу где , то неравенство (2) на интервале не имеет решений.

2) Рассмотрим неравенство где и . (3)

а) Если где , принадлежит промежутку где , то решением неравенства (3), а значит и неравенства (1), будет промежуток , если

Решениями неравенства (1) являются , если

б) Если где , то решением неравенства (3), а значит и неравенства (1), будет промежуток если

Решениями неравенства (1) являются , если

в) Если , где , то неравенство (3) на промежутке не имеет решений.

3) Рассмотрим неравенство где и .

В этом случае решениями неравенства если , а значит и неравенства (1), являются если

Из 1) – 3) следует: если то = ;

если то

3. Если то неравенство (1) равносильно системе

1) Рассмотрим неравенство где и (4).

а) Если где , принадлежит промежутку , то решением неравенства (4), а значит и неравенства (1), будет промежуток если

Решениями неравенства (1) являются где

б) Если , где , то неравенство (4), не имеет решений.

2) Рассмотрим неравенство где , . Решениями последнего неравенства, а значит и неравенства (1), являются . (отметим: если и , то )

3) Рассмотрим неравенство где , . Решениями последнего неравенства, а значит и неравенства (1), являются

Из 1) – 3) следует:

если то .

Из 1. и 3. следует: решениями неравенства (1) являются если (так как, если то ).

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

2. Решите неравенство (1)

Решение. ОДЗ неравенства (следует из неравенства ).

1. Если , то неравенство (1) принимает вид .Решениями последнего неравенства являются .

Замечание. Точки одновременно являются решениями неравенства (1) (так как и ). Это означает, если является решением неравенства (1) при , то является решением этого неравенства при .

2. Пусть .

Рассмотрим неравенство (1) при .

Если , то неравенство (1) принимает вид .

Неравенство (2) равносильно совокупности

а) Решениями первой системы совокупности (3), а значит и неравенства (2), являются если . Тогда из замечания следует, что решениями неравенства (1) также являются , если

б) Рассмотрим вторую систему совокупности (3).

Корнями квадратного уравнения , где , являются , где .

Докажем, что принадлежат промежутку Отметим: так как то, если то и Имеем

Получили, что а тогда и

Решениями второй системы совокупности (3), а значит и неравенства (2), являются , если , и. если . Тогда из замечания следует, что решениями неравенства (1), также являются , если , и если .

Ответ. Если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то.