Метод оценки

Определение. Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наименьшее значение в точке , если точка и для любого .

Определение. Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наибольшее значение в точке , если точка и для любого .

При решении неравенств методом оценки часто пользуются следующим.

1. Пусть m наименьшее значение функции на множестве Х.

Неравенство () выполняется для всех ,если а не больше (меньше) наименьшего значения функции на множестве Х, то есть, если .

Неравенство () имеет решение,если .

2. Пусть M наибольшее значение функции на множестве Х.

Неравенство () выполняется для всех ,если а не меньше (больше) наибольшего значения функции на множестве Х, то есть, если .

Неравенство () имеет решение,если .

Замечание. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши):

, где .

Среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

7. Найдите все значения параметра а, при которых для всех выполняется неравенство

Решение. 1. Пусть .Найдём наименьшее значение функции где .

1) Рассмотрим функцию

Воспользуемся неравенством Коши. Так как то

Итак, Равенство достигается тогда и только тогда, когда

2) Оценим функцию на интервале . Для этого воспользуемся неравенством

Так как если то

Итак, для любого выполняется неравенство причём, если то Это означает, что число 4 является наименьшим значением функция на интервале .Тогда для любого числа а, удовлетворяющему неравенству ,на интервале выполняется неравенство .

2. Пусть Очевидно, что , а так же очевидно, что .

Оценим функцию на интервале .

Имеем

Итак, для любого выполняется неравенство причём, если то Это означает, что число 8 является наименьшим значением функция на интервале .Тогда для любого числа а, удовлетворяющему неравенству ,на интервале выполняется неравенство , то есть выполняется неравенство .

Итак: неравенство выполняется для любого если и это неравенство выполняется для любого , если Тогда исходное неравенство выполняется для любого если .

Ответ.

Оценим функцию , где .

Воспользуемся методом введения дополнительного угла. Имеем

.

Так как то можно положить

Тогда .

Так как и , то

.

Итак, наименьшее значение функции , где , равно , а наибольшее значение равно .

Наименьшее значение функции , где , равно нулю, а наибольшее значение, равно .

8. Найдите все значения параметра b, при которых неравенство имеет решение для любого а.

Решение. Наименьшее значение функции , равно

Итак, наименьшее значение функции , равно Тогда исходное неравенство имеет решение, если

Неравенство выполняется при любом а, если

Ответ.

9. Найдите все значения параметра а, при которых для любых значений выполняетсянеравенство

Решение. Преобразуем .

Для этого воспользуемся следующими формулами

Таким образом, имеем

Найдём наибольшее значение функции , для этого воспользуемся неравенствами: .

Имеем

Так как то наибольшее значение функции равно Тогда решением неравенства является любое если

Итак, искомые значения

Ответ.

Замечание. Если в задаче требуется определить значения параметра, при которых неравенство (уравнение, система) выполняется при всех значениях переменной из множества Х, то подставив какое-нибудь конкретное значение из Х, получим значения параметра, среди которых находятся искомые значения.

Если получаем конечное число значений параметра, то каждое из них требует проверки.

Если получаем бесконечное число значений параметра, то для нахождения искомых значений параметра надо провести дополнительные исследования.

10. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство не имеет решений на отрезке .

Решение. Рассмотрим задачу, равносильную исходной.

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется при всех

Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать отрезку .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать отрезку .

Из 1. и 2. следует: неравенство (1) выполняется при всех если

Проверим, будет ли выполняться неравенство (1) при всех если Имеем

Ответ.

11. Найдите все значения параметра а, при которых в множестве решений неравенства содержится отрезок .

Решение. 1. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать интервалу .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать интервалу .

Так как , то предположим, что искомые значения параметра а принадлежат интервалу .

3. Оценим левую часть неравенства (1), если и

Рассмотрим функцию , где и

Найдём промежутки монотонности функции .

Найдём производную функции . Имеем

Оценим производную .

Если и то Очевидно, Тогда

Так как где и то функция убывает на отрезке . Тогда

Если то

(Отметим, если то )

Таким образом, если и то

Ответ.

12. Найдите все значения х, при которых неравенство выполняется для всех значений параметра .

Решение. 1. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения х могут принадлежать отрезку .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Очевидно: принадлежит отрезку . Искомым значением возможен

Проверим, будет ли выполняться неравенство (1) для всех , если . Имеем

Ответ.

13. Решите неравенство . (1)

Решение. 1. Рассмотрим функции .

Графиком функции является «уголок» с вершиной в точке (–1;0) и со сторонами

Графиком функции является «подвижный уголок» с вершиной в точке и со сторонами

Отметим: для любого вершина «подвижного уголка» лежит на прямой

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда .

Замечание. Сторона (прямая) (1) «уголка» параллельна стороне (прямой) (3) «подвижного уголка», так же стороны (прямые) (2) и (4) параллельны.

2. Точки пересечения графика функции с прямой (ордината вершины «подвижного уголка» равна 4) найдём из уравнения

Ось абсцисс точками разбивается на 3 промежутка: .

3. Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть

Из рисунка 8 а) следует: если , то для любого где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и , где найдём из системы

Если , то решениями неравенства (1) являются .

2) Если то часть прямой совпадает с частью прямой при В этом случае решениями неравенства (1) являются .

Из 1) и 2) следует, если , то решениями неравенства (1) являются .

3) Пусть

Из рисунка 8 б) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и где найдём из системы

Итак, если , то решениями неравенства (1) являются

4) Если то часть прямой совпадает с частью прямой при В этом случае решениями неравенства (1) являются .

Из 3) и 4) следует, если , то решениями неравенства (1) являются .

5) Пусть .

Из замечания и рисунка 8 в) следует, если , то неравенство (1) не имеет решений, так как

Ответ. Если , то ; если , то нет решений; если , то .

14. Решите неравенство .

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1), проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Получим

Построим прямые Эти прямые разобьют плоскость х0а на 4 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

В области I уравнение (1) равносильно системе

Имеем

Замечание. Функция где на промежутке убывает, а на промежутке возрастает.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при , убывает. Для построения части параболы найдём значение функции В области I строим часть параболы .

В области II уравнение (1) равносильно системе

Графиком уравнения является прямая, которая в области II проходит через точки и . В области II строим часть прямой .

В области III уравнение (1) равносильно системе

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при , возрастает. Для построения части параболы найдём значения функции: и . В области III строим часть параболы , которая проходит через точки и .

В области IV уравнение (1) равносильно системе

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при возрастает. Для построения части параболы найдём значение функции В области IV строим часть параболы .

Замечание. Парабола разбивает координатную плоскость на две области, в каждой из которых функция сохраняет знак.

Дляопределения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точку (0; 1) и определим, удовлетворяет ли она рассматриваемому неравенству. Так как точка (0; 1) не удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой не принадлежит точка (0; 1). Заштрихованная область, в которую не входит граница области (рисунок 9), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые . Ось а прямыми разбивается на 4 промежутка: На каждом промежутке найдём решение исходного неравенства. Для этого на каждом промежутке из уравнения границы находим значения х, которые соответствуют концам отрезков прямой , попавшей в заштрихованную область.

а) Если , то решениями исходного неравенства являются .

б) Если , то граница заштрихованной области задана уравнениями: и . Из первого уравнения находим а из второго – (берём больший корень уравнения , так как Решениями исходного неравенства являются .

в) Если , то граница заштрихованной области задана уравнениями: и . Из первого уравнения находим , а из второго – (берём больший корень уравнения , так как ). Решениями исходного неравенства являются .

г) Если , то граница заштрихованной области задана уравнением . Из этого уравнения находим: , . Тогда решениями исходного неравенства являются .

Ответ. Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

15. Решите неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции (ООФ) определяется системой неравенств

На координатной плоскости х0а построим прямые:

ООФ, то есть множество решений системы (2), изображено на рисунке 10а) штриховкой (прямые не принадлежит множеству решений системы (2)).

В ООФ имеем

2. Нули функции находим из уравнения

Нулями функции являются точки части прямой , принадлежащие ООФ.

Строим часть прямой в заштрихованной области, то есть в области, являющейся ООФ (рис. 10б)). Точка является точкой пересечения прямых и

3. Определим знак функции в областях: I (ограниченной прямыми ),II (ограниченной прямыми ), III (ограниченной прямыми ).

Определим знак функции , например, в точке Имеем . Так как точка (0,25; 0,5) не удовлетворяет исходному неравенству, то область I не является множеством решений исходного неравенства.

Так как при переходе через прямую знак функции меняется на противоположный, то в области II. Это означает, что область II является множеством решений исходного неравенства.

Так как при переходе через прямую знак функции меняется на противоположный, то в области III. Это означает, что область III не является множеством решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства в области II проведём прямые . Ось а прямыми разбивается на 2 промежутка: . На каждом промежутке найдём решение исходного неравенства. Для этого на каждом промежутке из уравнения границы находим значения х, которые соответствуют концам отрезков прямой , попавшей в область II.

а) Если , то граница область II задана уравнениями: Из этих уравнений находим

Решениями исходного неравенства, если являются (отметим, что прямая не принадлежит ООФ, и точки прямой не принадлежат множеству решений исходного неравенства, так как это строгое неравенство).

б) Если , то граница область II задана уравнениями: Из этих уравнений находим

Решениями исходного неравенства, если являются .

Ответ. Если , то решений нет; если , то ; если , то .

16. При всех значениях параметра решите неравенство

Решение. 1. Так как то сделаем замену , где .

Исходное неравенство принимает вид . (2)

Так как (по условию) и , то

2.Рассмотрим второе неравенство последней системы.

Так как и , то Тогда

Таким образом, решением неравенства (2) является

Решения исходного неравенства находим из уравнения . Корни последнего уравнения:

Ответ.

17. Найдите все значения параметра а, при которых множеством решений неравенства а) является отрезок; б) является отрезок длиной 4.

Решение. Сделаем замену . Очевидно, Тогда где Исходное неравенство принимает вид , где . Перепишем неравенство в виде где (1)

Замечание. Решением исходного неравенства и неравенства (1) является отрезок при одних и тех же значениях параметра а (так как , то для каждого значения t находится единственное значение х).

2.Рассмотрим неравенство , где .Имеем

4. На координатной плоскости построим множество точек, удовлетворяющих системе уравнений

а) Графиком функции где является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку . Функция возрастает на отрезке . Для построения части параболы найдём значения функции: и .

б) Графиком функции где является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы в точке Абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку . Для построения части параболы найдём значения функции: и .

5. Множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (1; 0) (точка (1; 0) удовлетворяет неравенству где ). Заштрихованная область (рис. 11), в которую входит граница области: , является множеством решений неравенства (1).

Из рисунка 11 следует: если , то множеством решений неравенства (1), а значит и исходного неравенства (следует из замечания), является отрезок.

6. Найдём значения параметра а, при которых решением исходного неравенства является отрезок длиной 4.

Пусть множеством решений неравенства (1) является отрезок , где корень уравнения где . Выразим через а. Имеем

Решением неравенства (1) является отрезок , где .

Перейдём к переменой х. Тогда решением исходного неравенства является отрезок . Так как , то .

Если то

Если , то

Итак, , где .

Длина отрезка равна 4 тогда и только тогда, когда

Ответ. ;

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок длиной больше 3, но меньше 5.

Решение. 1. Имеем

1) Рассмотрим первое неравенство совокупности (1).

Решением неравенства является отрезок, если оба корня уравнения, , где (2) не больше числа .

Замечание. Квадратное уравнение где имеет два корня, которые не больше (не меньше) числа тогда и только, когда

Найдём дискриминант уравнения (2). Имеем

Из замечания следует: уравнение (2) имеет два корня, которые не больше числа тогда и только, когда

Итак, если то уравнение (2) имеет два корня , которые не больше числа .

Так как то

Решением неравенства , где и а

значит и исходного неравенства, является отрезок

2) Рассмотрим второе неравенство совокупности (2).

Решением неравенства является отрезок, если оба корня уравнения, , где (3) не меньше числа .

Найдём дискриминант уравнения (3). Имеем

Из замечания следует: уравнение (3) имеет два корня, которые не меньше числа тогда и только, когда

Итак, если то уравнение (3) имеет два корня , которые не меньше числа .

Так как то

Решением неравенства , где а значит и исходного неравенства, является отрезок где корни уравнения (3).

Из 1) и 2) следует, что множеством решений исходного неравенства является отрезок , если или отрезок , если .

2. Найдём значения параметра а, при которых решением исходного неравенства является отрезок длиной больше 3, но меньше 5.

а) Длина отрезка , если , больше 3, но меньше 5 тогда и только тогда, когда

б) Длина отрезка , если , больше 3, но меньше 5 тогда и только тогда, когда

Ответ. .

19. Найти все значения параметра а, при которых число целы