2015-03-22
2466
(т.е. Ν → ∞).
Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле
Pn =(1-ρ)ρ n, n =0,1,2,…,
где ρ = λ/μ <1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
Задача 4.3.: Дана одноканальная СМО.
Ограничение на очередь нет.
Поток заявок имеет интенсивность λ =0,85 (заявок в час).
Время обслуживания заявки в среднем равно tоб =1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики СМО, работающего в стационарном режиме.
среднее число заявок, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
|
|
|
среднюю продолжительность пребывания заявки в системе
(на обслуживании и в очереди);
среднее число заявок в очереди на обслуживании;
среднюю продолжительность пребывания заявок в очереди.
Решение:
μ=0,952; ρ=0,893.
P 0=1-r=1-0,893=0,107;
P 1=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;
P 2=(1-r)·r2=(1-0,893)·0,8932=0,085;
P 3=(1-r)·r3=(1-0,893)·0,8933=0,076;
P 4=(1-r)·r4=(1-0,893)·0,8934=0,068;
P 5=(1-r)·r5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.
Р 0 определяет долю времени, в течение которого СМО вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р0=0,107.
Среднее число заявок, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
ед.
Средняя продолжительность пребывания заявки в системе:
час.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание:
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди:
час.
Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены:
q =1.
Абсолютная пропускная способность:
A =λ∙ q =0,85∙1=0,85.
Пусть частота m возникновения ситуаций, когда заявка не имеет возможности присоединить к очереди:
m =λ∙ PN.
при N =3+1=4 и r=0,893,
m =λ∙ P 0∙ r4=0,85∙0,248∙0,8934=0,134 заявок в час.
При 12-часовом режиме СМО это эквивалентно тому, что СМО в среднем за смену (день) будет терять 12∙0,134=1,6 заявок.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживающих заявок в среднем на 1,6 за смену (12 ч. работы) СМО.
