Многоканальная СМО с ожиданием

Входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания.

Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/µ.

Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

где

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:
среднее число заявок в очереди на обслуживание

среднее число находящихся в системе заявок (на обслуживание и в очереди)
L_S = L_q +ρ;
средняя продолжительность пребывания заявки в очереди (заявки на обслуживание)

средняя продолжительность пребывания клиента в системе

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Задача 4.5.:. Дана СМО с тремя каналами. Интенсивность потока λ=2,5 заявок в сутки, среднее время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону и равно t _об =0,5 сут. Очередь заявок может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,
λ/μ ∙ с =2,5/2∙3=0,41<1.

Поскольку λ/μ∙ с <1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:

Вероятность отсутствия очереди
Р_отк≈ Р ₀+ Р ₁+ Р ₂+ Р ₃≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок
L_s = L_q + =0,111+1,25=1,361.
Средняя продолжительность пребывания в очереди на обслуживание

суток С

Средняя продолжительность пребывания в системе

Задача 4.6.. Интенсивность потока телефонных звонков в агентство, имеющему один телефон, составляет 16 вызовов в час. Продолжительность оформления заказа равна 2,4 минуты.

Определить относительную и абсолютную пропускную способность этой СМО и вероятность отказа ( занятости телефона ). Сколько телефонов должно быть в агентстве, чтобы относительная пропускная способность была не менее 0,75.

Решение:

Одноканальная СМО с отказами

Предположим, что включили второй телефон

Задача 4.7. Система массового обслуживания — билетная касса с одним окошком и неограниченной очередью. Касса продает билеты в пункты А и В.

Пассажиров, желающих купить билет в пункт А, приходит в среднем трое за 20 мин, в пункт В — двое за 20 мин. Поток пассажиров простейший.

Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Вычислить среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время пребывания заявки в очереди.

Решение:

Контрольная работа к лекции 4. Элементы теории массового обслуживания. (выполнение не обязательно даже на оценку «отлично». Только для ознакомления)

1. Междугородный аэропорт предполагает открыть четыре пропускных терминала. В среднем за сутки поступает 320пассажиров. Средняя длительность проверки составляет 5мин. Длина очереди не должна

превышать 6 пассажиров. Определить вероятность простоя каналов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную

пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее

время заявки в очереди, среднее время заявки в системе, среднее время заявки под обслуживанием ).

2. В отделение сбербанка для оплаты коммунальных услуг и др. счетов 9-10 числа каждого месяца заходит в среднем 28 человек в час (примем, что этот поток приблизительно постоянен в течение всего рабочего времени кассы). Опыт показывает, что оператор тратит в среднем 4 мин на человека.

- Сколько Вы бы задействовали операторов (окошек), чтобы обслужить этот

поток?

- Как Вы оцениваете, будет ли при этом очередь? Сколько людей будет ожидать обслуживания (в среднем)?

- Как Вы оцениваете, сколько примерно времени (в среднем) каждый посетитель будет проводить в сберкассе для оплаты своих счетов?

- Операторы - добросовестные, не отлучаются и работают весь день с постоянной скоростью, как машины, если есть посетители. Если посетителей нет - они отдыхают (и раздражают начальство своим бездействием). Какую долю времени, Вы думаете, они будут не заняты?

3. В газете бесплатных объявлений имеются 4 телефонные линии, на которых работают 4 оператора. В редакцию газеты в среднем звонит 1 клиент в минуту и попадает автоматически на любую свободную линию. Время обслуживания клиента в среднем составляет 3 минуты. Сколько в среднем клиентов за час обслужат операторы?

4. В газете бесплатных объявлений имеются 3 телефонные линии, на которых работают 3 оператора. В редакцию газеты в среднем звонит 1 клиент в минуту и попадает автоматически на любую свободную линию. Время обслуживания клиента в среднем составляет 2 минуты. Сколько в среднем клиентов за час обслужат операторы?

5. Среднее время обслуживания клиента в магазине –одна минута. В среднем магазин посещает тридцать человек в час. Какая вероятность того, что при долгой работе магазина в очереди будет находиться три человека.
Задания по вариантам.

6. В киоске одно торговое место. Средний поток покупателей – 50 человек в час. Среднее время обслуживания покупателя – 2 минуты. Если очередной подошедший покупатель обнаруживает, что кто-то уже обслуживается, то он переходит к соседнему киоску. Время работы киоска – 12 часов в день. Каждый покупатель в среднем приносит прибыль киоску 10 рублей. Определить среднюю ежедневную прибыль киоска. На сколько возрастет прибыль, если в киоске открыть второе торговое место.

7. В магазине имеются 3 продавца, каждый обслуживает в среднем покупателя 10 минут. Если все они заняты, то образуется очередь, длина которой не превышает 2 человека. В магазин приходит в среднем 15 посетителей в час. Сколько посетителей в час в среднем обслуживается.

8. В газете бесплатных объявлений имеются 4 телефонные линии, на которых работают 4 оператора. В редакцию газеты в среднем звонит 1 клиент в минуту и попадает автоматически на любую свободную линию. Время обслуживания клиента в среднем составляет 3 минуты. Сколько в среднем клиентов за час обслужат операторы?

9.В газете бесплатных объявлений имеются 3 телефонные линии, на которых работают 3 оператора. В редакцию газеты в среднем звонит 1 клиент в минуту и попадает автоматически на любую свободную линию. Время обслуживания клиента в среднем составляет 2 минуты. Сколько в среднем клиентов за час обслужат операторы?

10.Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ=2 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — t_об=0,8 часа. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Р_отк. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 0,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

11.Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 5. Если все стоянки заняты, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ =3 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля в среднем равно t =0,5 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

12. Среднее время обслуживания клиента в магазине – одна минута. В среднем магазин посещает тридцать человек в час. Какая вероятность того, что при долгой работе магазина в очереди будет находиться три человека.

Лекция 7. Модели производства и потребления (конспект необязателен. Только для ознакомления)

Модели производства строятся с помощью производственных функций, а модели потребления на основе целевой функции потребления.