Применение математических моделей

Методические рекомендации

Для тех случаев, когда натурный эксперимент дорог или невозможен, широко применяется вычислительный или ими­тационный эксперимент, то есть проведение расчетов на математической модели. Имитационный эксперимент весьма важен при проектировании технических устройств. Алгоритмы и программы для проведения вычислительного экспери­мента являются обязательной и существенной частью систем автоматизированного проектирования (САПР).

Для того, чтобы получить достоверные результаты при статистических испытаниях необходимо провести большое число экспериментов при случайном сочетании условий или факторов.

Если же мы имеем возможность сами выбрать желаемые сочетания факторов, то число экспериментов мож­но значительно уменьшить.

Это относится как к натурным, так и к имитационным экспериментам. Математическая дис­циплина, занимающаяся наилучшим выбором сочетаний ис­следуемых факторов для проведения экспериментов, полу­чила название математической теории планирования экспе­римента.

Простейшими планами эксперимента являются полные и дробные факторные планы. Полный факторный план для двух факторов x₁ и x₂ задается таблицей 1.

Таблица 1 - Полный факторный план для двух факторов

В таблице “+” обозначены максимальные значения фак­торов, “—” их минимальные значения.

Как видно из таблицы 1, для того, чтобы исследовать вли­яние двух факторов на некоторую функцию цели достаточно провести четыре испытания при всех возможных сочетаниях факторов.

Обычно для контроля проводят еще испытания при сред­них значениях факторов.

По полученным данным строят аппроксимирующий поли­ном и проверяют его адекватность по статистическим крите­риям.

Полученный полином является математической моделью влияния рассматриваемых факторов на объект. Им можно воспользоваться для поиска наилучшего сочетания факторов. Задача поиска наилучшего в некотором смысле сочетания факторов называется задачей оптимизации объекта.При этом условием или критерием оптимизации может быть мини­мум или максимум функции цели, например, минимум энер­гопотребления, минимум стоимости, максимум производи­тельности и т. д.

В общем случае может быть несколько критериев, в том числе и противоречивых.

Для поиска оптимума служат специальные численные методы, такие, как метод золотого сечения, метод градиент­ного спуска, метод симплексного планирования и ряд других.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется имитационным экспериментом?

2. Что является предметом математической теории плани­рования эксперимента?

3. Что называется планом эксперимента?

4. Приведите примеры задачи оптимизации, укажите кри­терии оптимизации?