Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Если m и M − соответственно наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) на отрезке [ a, b ], то
Теорема 2 (о среднем значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то на этом отрезке существует точка С такая, что
Величина
называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].
Замечание 1. Теорема 2 имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x) ≥ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(C) и основание (b − a)(рис. 2).
Имеют место более общие теоремы об оценке и среднем: если функции f (x) и φ (x) непрерывны на отрезке [ a, b ] и φ (x) > 0, m − наименьшее, M − наибольшее значения функции f (x), то
Из соотношений (7) и (7′) следуют соотношения (5) и (6), если принять φ(x) ≡ 1. Для непрерывных на отрезке [ a, b ] функций f (x) и φ (x) имеет место неравенство Коши−Буняковского: