Основные методы интегрирования

1. Интегральное исчисление функций одной переменной

2. Первообразная и неопределенный интеграл.

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица интегралов

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по данной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке функция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F ′ (x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция sin 5 x – первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x) = 5cos5 x, так как (sin5 x)′ = 5cos5 x.

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) – первообразная от функции f(x), то

Ф(x) = F(x) + C,

где С – любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′(х) = (F (x) + C)′ = F ′(x) + 0 = f (x).

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 1 (о первообразных). Если F (x) − какая-нибудь первообразная от функции f (x) на интервале (a, b), то все ее первообразные имеют вид F (x) + С, где С – произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f (x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S ′(t) = V (t), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t), путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t) = F (t) + C.

Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать начальные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0. Пусть при t = t0 имеем S = S0. Тогда

S(t ₀ ) = S ₀ = F(t ₀ ) + C. С = S ₀ – F(t ₀ ) и S(t) = F(t) + S ₀ – F(t ₀ ).

Определение 2. Если F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом и обозначается

∫ f (x) dx = F (x) + C,

т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её первообразных.

При этом функция f(x) называется подынтегральной, а произведение f(x)dx – подынтегральным выражением; F(x) – одна из первообразных; х – переменная интегрирования. Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Решение

Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b), то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫ f (x) dx.

Свойства неопределенных интегралов:

1. (∫ f (x) dx)′ = f (x), т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx, т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫ dF (x) = F (x) + C.

4. ∫(C 1 f 1(x) + C 2 f 2 (x)) dx = C 1∫ f 1(x) dx + C 2∫ f 2(x) dx − свойство линейности; С1, С2 – постоянные.

5. Если ∫ f (x) dx = F (x) + C, то

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интеграла. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х, используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

П р и м е р 2. Найти неопределенный интеграл: а) ∫(e^x + cos5 x) dx.

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3. Вычислить интеграл: ∫ tg ² xdx.

Решение:

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахождению табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной.

Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫ f(x)dx = F(x) + C, то

∫ f(x)dx =∫ f(φ(t)) φ ′ (t)dt. (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫ f(φ(t)) φ ′ (t)dt нужно перейти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos³ x sin xdx.

Решение:

а) Заменим sin xdx на (− d cos x), т. е. внесем функцию cos x под знак дифференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть u ′ (x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл ∫ u ′(x) v (x) dx.

Тогда на этом промежутке имеет первообразную и функция u(x)v ′ (x) и справедлива формула:

∫ u (x) v ′(x) dx = u (x) v (x) −∫ v (x) u ′(x) dx (2)

или

∫ udv = uv −∫ vdu. (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следующих функций: P (x)arcsin(ax), P (x)arccos(ax), P (x)arctg(ax), P (x)arcctg(ax), P (x)ln x, P (x) e^kx, P (x)sin kx, P (x)cos kx, здесь P(x) – многочлен; e^ax cos bx, e^ax sin bx.