Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1 (о перестановке пределов)

При введении определенного интеграла мы всегда подразумеваем, что a < b. Для случая a = b полагаем, по определению определенный интеграл равным нулю.

Свойство 2 (о разбиении интервала интегрирования).

Каковы бы ни были числа a, b, c, имеет место равенство

Здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в формулы, существуют.

Из свойства 2 следует, что если с ₁, с ₂, …, с_k – как угодно расположенные числа в интервале непрерывности функции f(x), то

Свойство 2 называют свойством аддитивности определенного интеграла.

Свойство 3 (линейности)

где С ₁, С ₂ − постоянные числа.

Замечание. Свойство 3 имеет место для любого числа слагаемых. Это свойство говорит о том, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Свойство 4 (о знаке интеграла)

Если всюду на отрезке [ a, b ] функция f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0 ), то

Свойство 5 (об интегрировании неравенств)

Если всюду на отрезке [ a, b ] функция f(x) ≤ g(x), то