Эффективная масса для плотности состояний

Определим теперь плотность состояний для более общего случая, когда поверхностями равных энергий являются эллипсоиды, что характерно для полупроводников. Вблизи дна зоны проводимости энергия согласно (4.44) имеет вид

. (4.86)

Здесь – энергия, соответствующая дну зоны, – диагональные элементы тензора обратной массы.

Уравнение (4.86) можно представить в каноническом виде

где

Объем эллипсоида с полуосями равен

а объем слоя между двумя эллипсоидами равных энергий

.

Следовательно, плотность состояний с учетом спина электрона равна

. (4.87)

Выражение (4.87) можно привести к виду, аналогичному (4.73), если положить

. (4.88)

Величина называется эффективной массой для плотности состояний. Плотность состояний для дна зоны проводимости в этих обозначениях будет иметь вид

(4.89)

Аналогичное соотношение можно получить для плотности состояний вблизи потолка валентной зоны

, (4.90)

(4.91)

Если количество минимумов энергии (или максимумов) в зоне Бриллюэна равняется М, то плотность состояний возрастает в М раз. И эффективная масса плотности состояний в этом случае будет

. (4.92)

Плотность состояний в обоих случаях (4.89) и (4.90) имеет одинаковый вид, расхождение лишь в знаке подкоренного выражения, что обусловливается разными знаками эффективной массы у дна и потолка зоны.

Таким образом, эллипсоидальные изоэнергетические поверхности вблизи экстремальных точек зоны проводимости и валентной зоны можно заменить сферическими поверхностями, для которых эффективная масса имеет вид (4.92), что является удобным при конкретных вычислениях.

Рассмотрим кремний (рис.4.11, б). Он имеет шесть минимумов (М=6) в зоне проводимости, расположенных по направлениям <100> на расстоянии от центра зоны. Поэтому эффективная масса плотности состояний (4.92) с учетом того, что для кремния равна

. (4.93)

Валентная зона кремния в дважды вырождена и изоэнергетические поверхности имеют сложный вид, однако их можно аппроксимировать двумя сферическими поверхностями, которым соответствуют легкие и тяжелые дырки. Эффективная масса плотности состояний в валентной зоне кремния равна

. (4.94)

При соответствующих расчетах для германия стоит учесть то обстоятельство, что минимумы зоны проводимости располагаются на границе первой зоны Бриллюэна по направлениям <111> (рис.4.11, а). Поэтому восемь эллипсоидов равных энергий рассечены пополам границами зоны Бриллюэна и эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости будет равна

. (4.95)

Здесь учтено, что m_l= 1,64 m и m_t= 0,082 m.

Валентная зона имеет вырожденный максимум при k=0 и характеризуется наличием легких и тяжелых дырок, и соответствующая зоне эффективная масса плотности состояний будет равна

. (4.96)