Уровень Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках

Определим положение уровня Ферми и концентрацию носителей в собственном полупроводнике в зависимости от температуры. Примем за нулевой уровень дно зоны проводимости .

При температуре абсолютного нуля валентная зона полностью заполнена электронами, зона проводимости свободна. С повышением температуры за счет термического возбуждения часть электронов переходит в зону проводимости, незанятые состояния валентной зоны ведут себя как положительные частицы – дырки. Так как электроны и дырки появляются парами, то равновесные концентрации электронов n₀ и дырок р₀ равны

. (4.97)

Это есть условие электронейтральности или условие сохранения заряда для собственного полупроводника.

Воспользуемся распределением электронов по энергиям для зоны проводимости (4.76). Так как число квантовых состояний в зоне значительно превышает долю состояний, занятых электронами, то функция . Следовательно, . Поскольку заполненными являются состояния вблизи дна зоны, то есть возле , то должно выполняться условие

. (4.98)

Это означает, что уровень Ферми собственного полупроводника располагается в запрещенной зоне, а само условие (4.114) отражает тот факт, что электронный газ в полупроводнике является невырожденным.

Определим положение уровня Ферми в полупроводнике в зависимости от температуры. Для этого проинтегрируем (4.76), заменив на бесконечность верхний предел интегрирования. Это можно сделать, так как подынтегральная функция быстро убывает с ростом Е. Используя условие (4.98), получаем

, (4.99)

где под понимается эффективная масса для плотности состояний (4.92), а

коэффициент

(4.100)

называется эффективной плотностью состояний для дна зоны проводимости.

Аналогичный расчет для дырок в валентной зоне дает

(4.101)

где – положение уровня Ферми относительно потолка валентной зоны, – эффективная плотность состояний для потолка валентной зоны, которая равна

. (4.102)

Под здесь понимается эффективная масса для плотности состояний валентной зоны.

Очевидно, что

(4.103)

где – ширина запрещенной зоны полупроводника.

Воспользовавшись выражениями (4.99), (4.101), (4.103) и уравнением электронейтральности (4.113), находим положение уровня Ферми для собственного полупроводника в зависимости от температуры (рис.4.19, а):

. (4.104)

При температуре абсолютного нуля и в случае, когда эффективные массы плотности состояний зоны проводимости и валентной зоны равны (), уровень Ферми проходит посредине запрещенной зоны. С повышением температуры уровень Ферми смещается к зоне с меньшей эффективной массой. Сдвиг это обычно малый, и только в некоторых полупроводниках, например, в , для которого , сдвиг уровня Ферми при высоких температурах может оказаться настолько значительным, что он входит в зону проводимости и электронный газ оказывается вырожденным.

а	б
Рис.4.19. Положение уровня Ферми (а) (а) и концентрация носителей (б)для собственного полупроводника в зависимости от температуры

Подставив из (4.104) в (4.99), получим концентрацию собственных носителей

. (4.105)

Из (4.1051) видно, что равновесная концентрация носителей в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника. На рис. 4.19, б приведена температурная зависимость концентрации собственных носителей заряда.