Энергия Ферми и концентрация электронов в металле

Электронный газ металла, находящийся в основном состоянии при абсолютном нуле, заполняет в - пространстве все состояния внутри некоторой сферы, которая называется поверхностью Ферми. Энергия, соответствующая этой поверхности, называется энергией Ферми и представляет максимальную энергию, что могут иметь электроны при абсолютном нуле температур. Таким образом, поверхность Ферми отделяет в - пространстве занятые состояния от свободных.

Определим величину энергии Ферми через концентрацию электронов Для этого проинтегрируем (4.76) по всем возможными значениями энергии и учтем, что при функция равняется единице для всех и нулю для всех

(4.78)

Отсюда энергия Ферми при равна

(4.79)

Для отличной от абсолютного нуля температуры энергия Ферми будет являться функцией температуры

. (4.80)

Поскольку в металлах при любой температуре , то положение уровня Ферми в металлах определяется лишь концентрацией свободных электронов и практически не изменяется с температурой.

Скорость электронов на поверхности Ферми и температура Ферми определяются через энергию Ферми

и . (4.81)

Оценим величину энергии Ферми для типичного металла, считая концентрацию электронов :

эВ.

Среднюю энергию электронов можно определить через энергию Ферми

(4.82)

Следовательно, средняя энергия электронов по порядку величины совпадает с энергией Ферми. Такой энергией молекулы классического газа обладали бы при температуре в несколько десятков тысяч градусов. Это свидетельствует о том, что электронный газ в металлах находится в особом, вырожденном состоянии. Его энергия практически не зависит от температуры.

В том случае, когда фермиевская функция распределения переходит в максвелловскую, вырождение с электронного газа снимается. Это возможно при выполнении условия

(4.83)

Выразим это условие через параметры электронного газа. Для этого проинтегрируем (4.76) с учетом (4.83):

Отсюда условие снятия вырождения с электронного газа может быть представлено в виде

(4.84)

Обратное неравенство означает, что электронный газ находится в вырожденном состоянии.

Если приравнять левую часть неравенства (4.84) единице, можно определить температуру снятия вырождения:

(4.85)

Оценивая величину этой температуры для концентрации электронов м^-3, получим К.

Таким образом, электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.

В заключение заметим, что поверхность Ферми является сферической только в приближении свободных электронов. Для реальных металлов, когда закон дисперсии носит сложный характер, вид поверхности Ферми может быть весьма экзотическим (рис. 4.18).

Рис.4.18. Поверхность Ферми для реальных металлов

отношение