Системы массового обслуживания с ожиданием

Если все каналы обслуживания заняты, заявка, поступившая в систему, становится в очередь. Если время пребывания в очереди и число мест в очереди неограниченно, то такая система называется чистой системой с ожиданием. Предельный стационарный режим при существует, если , то есть “мощность” системы достаточна для обслуживания данного потока заявок. В случае очередь будет неограниченно расти и предельного стационарного режима не существует. Кроме числовых характеристик, аналогичных характеристикам СМО с отказом, система с ожиданием обладает специфическими характеристиками, связанными с наличием очереди: средняя длина очереди, вероятность наличия очереди, среднее время пребывания заявки в очереди и некоторыми другими.

Предельные вероятности состояний системы (при условии существования стационарного режима работы) определяются по формулам:

1) В случае отсутствия очереди

= , где .

2) В случае наличия очереди

= , где s – длина очереди, s =1,2,3,….

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле:

= .

Для СМО с ожиданием =1. Среднее число занятых каналов = = . Система имеет бесконечное число состояний, =1. Среднее время ожидания заявки в очереди = .

Задача. Рассматривается работа таможенного пропускного пункта автомобилей на границе. Пункт имеет 3 поста. В среднем каждые 3 минуты к границе подъезжает автомобиль. За 1 час каждый пост, в среднем, может проверить и пропустить 10 автомобилей. Число мест в очереди и время пребывания в очереди практически не ограничено. Определить, существует ли стационарный режим работы пропускного пункта. Если да, то найти:

1) вероятности состояний системы

, ;

2) вероятность наличия очереди ;

3) среднюю длину очереди ;

4) среднее число занятых каналов (постов) ;

5) вероятность занятости канала (поста) ;

6) среднее время ожидания машины в очереди ;

7) среднее время простоя поста.

Решение. Из условия задачи число каналов ; =1/20 часа; = 20 машин в час; = 10; =2. Найдем

= =1+2+2+4/3=19/3;

= =16/6=8/3.

В итоге знаменатель дробей в формулах вероятностей состояний равен =19/3+8/3=9.

1) Найдем вероятности =1/9; =2/9; =2/9; =4/27. Вероятность соответствует случаю занятости всех постов и одной машине в очереди, то есть s =1. Для вычисления используем формулу = .

= = ;

= = (случай s =2).

2) Вероятность наличия очереди определяем так:

=1-(1/9+2/9+2/9+4/27)=8/27.

3) Определим среднюю длину очереди

= .

4) Так как =1, то = .

5) Найдем вероятность занятости канала .

6) Среднее время простоя поста равно

= 1/20=0.05 (ч.)

Из полученных результатов видно, что пропускной пункт хорошо выполняет свои функции, очередь невелика, и есть определенный резерв при увеличении потока автомобилей.

Задача 8.4. Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеется 4 заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 6 минут. В среднем, каждые 3 минуты на АЗС прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Число мест в очереди практически не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, терпеливо дожидаются заправки, так как других АЗС поблизости нет. Определить, существует ли стационарный режим работы СМО. Если нет, то уменьшите среднее время обслуживания одной машины и повторите расчеты. Если стационарный режим существует, определите:

1) вероятности p_i (i = 0, 1, 2, 3, 4);

2) вероятности наличия очереди p _оч;

3) среднюю длину очереди ;

4) среднее число занятых колонок ;

5) вероятности занятости каждой колонки p _зан;

6) среднее время ожидания машины в очереди ;

7) среднее время простоя колонки .

Решение. Из условия задачи число каналов ; =1/20 часа; =20 машин в час; =10; =2. Найдем

= =1+2+2+4/3+2/3=21/3;

= =4/6=2/3.

В итоге знаменатель дробей в формулах вероятностей состояний равен =21/3+2/3=23/3.

1) Найдем вероятности загруженности 0, 1, 2, 3 и 4 каналов.

= = ;

= = .

Вероятность соответствует случаю занятости всех постов и одной машине в очереди, то есть s =1, вероятность - случаю машинам в очереди, и т.д. Для вычисления , , ¼, используем формулу