Дифференциал функции

Если функция f (х) дифференцируема в точке х ₀, то ее приращение можно представить в виде

Δf (х ₀) = f ^/(x ₀)× Δх + α (Δх)× Δх. (2.3)

В этом случае выражение f ^/ (x ₀)× Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f (х) в точке х ₀ и обозначается символом df (x):

df (x) = f '(x ₀)· Δx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.

Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.

Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx = ∆ x. Поэтому можно записать df = f ^/ (x) dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).

Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf» df, откуда f (х ₀ + ∆ x) ≈ f ^/ (x ₀) + df или

f (х ₀ + ∆ x) ≈ f ^/(x ₀) + f ^/ (x ₀) ∆ x (2.4)

Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f (x) в точке x ₀+ ∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x ₀.