Геометрический и физический смысл производной

Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке x ₀. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М ₀(x ₀, у ₀), уравнение которой имеет вид

При этом , где a – угол наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ (рис. 2.1).

Геометрически, чтобы провести касательную, надо к графику кривой приставить линейку так, чтобы она коснулась графика в выбранной точке.

Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной, приведенной к графику функции y = f (x) в точке x ₀ равен значению производной функции в этой точке.

Физический смысл: скорость тела равна первой производной координаты по времени:

V (t)= x ^/(t). (2.1)

Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение:

a (t)= V ^/ (t)= x ^//(t). (2.2)

Таблица производных

1. С ¢ = 0, где С –постоянная

2. (x^m)¢ = mx^m^– ¹