Переменных

Рассмотрим функцию определенную на множестве точек -мерного евклидова пространства и точку пространства , быть может и не принадлежащую множеству но обладающую тем свойством, что в любой -окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества отличная от . Расстояние между точками и обозначим .

Определение 2.1(Предел функции в точке по Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек множества , все элементы которой отличны от , соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 2.2(Предел функции в точке по Коши). Число называется пределом функции при если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки из множества , удовлетворяющей условию справедливо неравенство .

Для обозначения предела функции в точке принято использовать следующие символы:

где – координаты точки .

Понятие непрерывности функции переменных также имеет два определения.

Рассмотрим функцию переменных , заданную на некотором множестве пространства . Пусть – некоторая точка принадлежащая множеству , такая, что в любой -окрестности точки содержатся точки множества отличные от .

Определение 2.3. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен частному значению

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

На основе определений предела функции в точке по Гейне и по Коши мы можем сформулировать определения непрерывности функций в данной точке по Гейне и по Коши.

Определение 2.4 (Непрерывность функции точке по Гейне). Функция называется непрерывной в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек множества соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 2.5(Непрерывность функции в точке по Коши). Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки из множества , удовлетворяющей условию справедливо неравенство

Дадим определение непрерывности функции на множестве.

Определение 2.6. Функция , определенная на множестве , называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение 2.7(Равномерная непрерывность функции на множестве). Функция , определенная на множестве , называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого существует такое , что для любых двух точек множества , расстояние между которыми удовлетворяет условию , выполняется неравенство

Пример 2.1. Найти предел функции в точке по прямой ; доказать, что не существует.

Решение. Функция определена во всех точках плоскости, кроме точки . Так как

при (если , то ), то предел функции в точке по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю.

Чтобы доказать, что не существует, достаточно указать кривую, проходящую через начало координат, по которой предел функции в точке не равен нулю. Такой кривой является, например, парабола . Действительно, и .

Пример 2.2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция не определена во всех точках, для которых . Следовательно, она терпит разрыв в точках, лежащих на этой прямой.

Пример 2.3. Исследовать на равномерную непрерывность функцию .

Решение. Функция непрерывна на множестве рациональных точек плоскости. Однако она не является равномерно непрерывной, так как разность значений функции в точках и , где , будет больше любого числа , если , как бы мало ни было расстояние между точками.

2.1. Показать, что для функции имеются повторные пределы , но не существует.

2.2. Показать, что для функции оба повторных предела не существуют, но существует .

2.3. Найти , если

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) .

Найти следующие двойные пределы:

2.4. .	2.5. .
2.6. .	2.7. .

2.8. Определите, по каким направлениям существует конечный предел:

а)

;

б)

если .

Найти точки разрыва следующих функций:

2.9. .	2.10. .
2.11. .

2.12. Показать, что функция

непрерывна по каждой переменной и в отдельности, но не является непрерывной по совокупности этих переменных.

2.13. Найти значение , при котором функция

является непрерывной в .

Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции на множестве :

2.14. .

2.15. .

2.16. .

2.17. Найти образ окружности при отображении:

;

2.18. Найти образ прямой при отображении:

Ответы: 2.3. а) 0, 1; б) , 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, . 2.4. 0. 2.5. . 2.6. 0. 2.7. . 2.8. а) ; б) и . 2.9. Все точки прямой . 2.10. – точка бесконечного разрыва; точки прямой – устранимые точки разрыва. 2.11. Точки координатных плоскостей . 2.13. 0. 2.14. Равномерно непрерывна 2.15. Не является равномерно непрерывной. 2.16. Не является равномерно непрерывной; 2.17. Эллипс ; 2.18. Цилиндр , если ; ось , если .